è necessario e sufficiente che riesca, divisibile per a la somma alter- 

 nata dei numeri risultanti dal separare, finché ciò sia possibile, le cifre 

 di N in tanti gruppi di m cifre ciascuno, a partire dalla destra. 



Per m = 1 si ritrovano così i notissimi criteri di divisibilità per 3, 9 

 e per 11. 



Esempì: I. Tutti i numeri della forma I0 mh — 1 sono divisibili per 

 10 m — 1. Essendo infatti 



N = 10 wft — 1 = 9 ...9 9 ... 9 ... 9 ... 9 , 



(1) (2) (k) 



ove ogni gruppo ha m cifre, si ha 



S 10 ,„ (N) = k . (9 + 9 . 10 + ... -4- 9 . IO'"- 1 ) = k (10 m — 1). 



II. Tutti i numeri della forma \i)" lìi — ( — 1)" sono divisibili per 

 10 m + 1. Si ha infatti: 



se k = 2h,~K= 10 w * — (— 1)" = 10 2m7i — 1 = 



= 9. ..99. ..9. ..9. ..99. ..9, S> (N) = 



(1) (2) (2h— 1) {2h) 



se k = 2h + 1 , N = IO""' — (— l)' 1 ' = 10 m(2?l+1) + 1 = 



= 10.. .00 0..00 0..00 0..01 , SiV (N) = . 



(1) (2) ^(277^(2/1 + 1) 



4. Per determinare i contini della regione aritmetica alla quale si esten- 

 dono le considerazioni precedenti, basta ricordare che, in forza del teorema 

 di Fermat generalizzato da Eulero, se a è primo con 10, il numero IQV W — 1 

 è divisibile per a, essendo al solito (p{a) il numero dei numeri delle serie 

 1 , 2 , ... a che sono <^ a e primi con esso. Il teorema III è dunque appli- 

 cabile a qualunque numero a primo con 10, purché si assuma m = <p (a) ('). 

 Ma, osservando essere y> (a) un numero pari e potendosi quindi scrivere 



IO" 2 "— 1 W 10 2 -J- 1 ) , si vedrà che a divide o 10 '- — 1 

 oppure 10 2 -J- 1 ; nel primo caso si applicherà il teorema III, nell'altro 



(') Il prof. G. Vivanti, al quale comunicai l'essenza dell'attuale ricerca, ebbe la 

 cortesia di richiamare la mia attenzione sopra l'articolo di M. Nassò intitolato Alcuni 

 teoremi di aritmetica (Revue de malìiématiques publiée par G. Peano, t. VII, 1900), ove 

 si trovano, fra altri enunciati, dovuti all'abate E. Gelin, i teor. Ili e IV; ivi però non è 

 segnalata la più importante prerogativa di cui essi godono, di essere cioè il germe di un 

 criterio generale di divisibilità. 



