il IV sempre assumendo m — . Ma v'ha di più. Se co è un fattore (1 non 



Li 



escluso) di - lf l - , può accadere clie J9 divida un numero della forma 



LI 



10" ± l^w <^ - ; allora conviene evidentemente applicare il III o il IV 



dei teoremi dimostrati, assumendo m eguale al minimo valore di <w. La 

 determinazione di co si può fare con un numero limitato di tentativi o col- 

 l' aiuto di una tabella che dia la decomposizione in fattori dei numeri della 

 forma 10 m rt 1 ( x ), o finalmente ricorrendo alla trasformazione della fra- 

 zione — in frazione decimale periodica ("-), come ora mostreremo. Sia 



— = (—4- _L _i_ _2_ /j?L'_L i . 



a 107 io" \iu io"/ 



se ne deduce che 

 10" — 1 



= fl„ -f- 10 an-, + .. . + IO"- 2 a 2 + IO"- 1 a x , 



a 



onde si può sempre applicare il teorema III, purché si assuma m eguale al 

 numero delle cifre costituenti un periodo della frazione decimale in cui può 



svolgersi — . Nel caso in cui n sia un numero pari 2r e si abbia « v< ., = 



a 



= 9 — «i , «v+2 = — a 2 ... , « 2 v = 9 — <z„ ( 3 ), dalla relazione precedente si 

 deduce agevolmente 



10 N 4- 1 



^ = a, + 10 tfv-i + • • • + IO 1 ' -1 a, -h 1 . 

 perciò è applicabile il teorema IV a patto che si assuma m eguale alla metà 

 ( l ) A comodo dei calcolatori trascriviamo qui i primi elementi di questa tabella: 



10 



— 1 



Q2 



— o 



10 -fi 



= n 



IO 2 



— 1 



= 3 2 X 11 



IO 3 -(- 1 



= 101 



IO 3 



— 1 



= 3 3 X 37 



io= 4- 1 



= 7 XHX13 



IO 4 



— 1 



= 3 2 X 11 X 101 



io 4 + 1 



= 73 X 137 



IO 5 



— 1 



= 3 2 X 41 X 271 



10= + 1 



= 11 X 9090 



10 c 



— 1 



= 3 3 X 7 X 11 X 13 X 37 



10" + 1 



= 101 X 9901 



C 2 ) L'uso di tale trasformazione venne suggerita dal prof. Bianchi, quando esposi 

 in compendio il contenuto della presente Nota al Congresso matematico tenuto a Livorno 

 nei giorni 17-22 agosto 1901, auspice l'Associazione « Mathesis » ; essa riesce particolar- 

 mente giovevole a chi abbia sott'occhio la III delle tabelle che chiudono le Disquisitiones 

 arithmeticae di Gauss. 



( 3 ) Esempi di siffatti sviluppi: ~ = 0,142857142857,.. = 0,01" 69863 ... ; |g- = 

 = 0,00729927...; ecc. 



