5. Il teorema III, combinato con le osservazioni esposte nel numero 

 precedente, dimostra che la ricerca delle condizioni di divisibilità del nnmero 



N= + 10 a, + IO 2 «2 + ... 

 pel numero intero a è ridotta alla ricerca analoga pel numero 



(5) S 10 »>(N) = « + «i + ---+ IO''"- 1 X [«*m+10fljta,+i+.->-f 



+ 10*- 1 .« ( , +1)m _ 1 ](i) ) 



m essendo un numero tale che 10 m — 1 sia multiplo di a. Ora il criterio 

 generale di divisibilità di N per a così risultante si può evidentemente 

 trasformare in infiniti altri, potendosi al numero S 10 >» (N) sostituirne un altro 

 che ne differisca per un multiplo qualsivoglia di a; di tale circostanza si 

 può trarre profitto per dedurre dei criteri speciali, relativi ad assegnati 

 valori di a, purché primi con 10. Sono molto noti per la loro utilità quelli 

 del seguente tipo: affinchè N sia divisibile per a è necessario e sufficiente 

 che lo sia un multiplo determinato del numero delle sue decine accresciuto 

 o diminuito di un multiplo pure determinato del numero delle sue unità ( 2 ). 

 Per dimostrare e precisare siffatto enunciato, consideriamo l'espressione 



(6) S = ga + ia, -f- 10 la 2 + • • • + 10 ra ~ 2 la m ^ + 



ft=n-l 



_|_ \_ io'™-'A[^ mi + 10fl, in+1 + --- + 10 m - 1 « ( , +1)m _ I ], 



ove q è un intero, positivo o negativo, da determinarsi, e A è uno dei nu- 

 meri 1, 2, 5. Posto fi=^^-, dalle (5) (6) si trae 



k=n—i 



/xS - S 10 m(N) = (/e? — 1) a -f ^_ (10'™ — 1) [a, w +10a, m+1 + • • • 



-J- 10 m_1 a(k+\)m-\~\ • 



essere 9 oppure 11 ... 1 un multiplo di a; ma la prima ipotesi è da escludersi perchè 

 9 <C a , onde si conclude il teorema. Si noti che da questo ragionamento si trae un metodo 

 per determinare il numero di cui parla la proposizione di Plateau (che è un vero porisma) ; 

 così ad es. se a = 21 è cp(a) = 12, 109«" — 1 = (IO 6 — 1) (10« + 1) e si trova essere 

 111 111 111 111 multiplo di 21. Aggiungiamo che, essendo IO?'™' — 1 multiplo di a , lo 

 sarà anche 10? (a)+ * — IO' 1 , qualunque sia k, quindi ogni numero primo con 10 ammette 

 un multiplo della forma 10^ — 10 r / (v. Monconi, Frazioni decimali periodiche e loro 

 generatrici, Periodico di matematica per l'insegnamento secondario, t. I, 1886), anzi ne 

 ammette infiniti, essendo per ciò sufficiente che gli esponenti p e q soddisfacciano alla 

 condizione p — q = op(«). 



(1) Scrivendo questa forinola non si esclude che il numero delle cifre di N sia primo 

 con m, dal momento che alcuni degli ultimi numeri a possono essere nulli. 



( 2 ) V. fra altri l'ottimo Libro di aritmetica e di algebra elementare del prof. Gaz- 

 zaniga (3 a ed. Padova, 1900). 



