Si osservi che IO 7 '" 1 — 1 è divisibile per IO"" 1 — 1 (v. n. 3, Es. I), 

 onde lo. è eziandio per a; se ne dedurrà 



— S 10 '«(N) = — 1)« (mod. a). 



Ma essendo a primo con IO, mentre fi è uno dei numeri 10, 5, 2 (fattori 

 di 10) esistono sempre infinite coppie di mimesi q , e tali che sia 



(7) n Q — l = <ra; 



scelto g in questo modo, la congruenza precedente potrà surrogarsi con questa 

 altra : 



iuS — S 10 »»(N) = (mod. a) 

 ossia, essendo ,u primo con a , 



S 10 4 N ) = S (mod. a). 



Questa prova che, nella ricerca dei criteri di divisibilità pel numero a 

 primo con 10 a Si >»(N) si può sostituire il numero S: resta così dimostrata la 

 esistenza di criteri dell' annunciato tipo e stabilito che, dato a e attribuito 

 a X (e quindi a fi) uno dei valori leciti, la ricerca del coefficiente q dipende 

 dalla risoluzione dell' equazione indeterminata (7). 



6. Applicheremo lo schema di calcolo ora esposto ad alcuni valori (primi) 

 speciali di a: verrà così dimostrato che molti noti speciali criteri di divisibilità 

 fanno parte di una intesa serie di analoghi criteri, in cui anzi talora se ne 

 trovano di preferibili a quelli. 



a = 7. Si hanno queste tre serie di valori leciti (ove k è un intero qua- 

 lunque) 



X =-1 ì q = 5 -j- 7k ; X = 2 , q — 3 -j- 7/,' ; X = 5 , g = 1 -{- 7k ; 



fra essi bisognerà scegliere i più piccoli; volendoli positivi si assumerà / = 1, 

 j = 5 e quindi si concluderà che affinchè un numero sia divisibile per 7 

 è necessario e sufficiente che sia un multiplo di 7 il numero delle sue 

 decine aumentato del quintuplo delle sue unità; ma se si ammettono anche 

 valori negativi si potrà prendere X = 1 , q = — 2 e concludere che affinchè 

 un numero sia divisibile per 7 deve esserlo il numero delle sue decine 

 diminuito del doppio del numero delle sue unità; è chiaro che questo nuovo 

 criterio è da preferirsi al precedente. 



«=13. I valori più convenienti sono X == 1 , (? = 4, i quali ricondu- 

 cono ad un criterio noto, cioè: affinchè un numero sia divisibile per 13 bi- 

 sogna che ciò accada pel numero delle sue decine aumentato del quadruplo 

 dei numero delle sue unità. 



«=17. Si può assumere X = 1 , q = — 5, onde affinchè un numero 

 sia divisibile per 11 è necessario e sufficiente che lo sia il numero delle 



