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1. È ben nota l'osservazione del Klein (') che il gruppo delle trasfor- 

 mazioni per raggi vettori reciproci e delle similitudini in uno spazio euclideo 

 aà. n — 1 dimensioni si può ottenere, per mezzo di proiezione stereografica 

 (trasformazione reale), dal gruppo proiettivo di una superficie del secondo 

 ordine, non degenere, di uno spazio euclideo ad n dimensioni. Traendo da 

 ciò profitto, noi sostituiremo alla ricerca dei gruppi conformi reali oo 1 ed oc 2 

 di S 3 la ricerca equivalente dei gruppi proiettivi reali oo 1 ed oo 2 di una 

 sfera dello S 4 euclideo. 



E qui notiamo subito che se un gruppo proiettivo della sfera di S 4 

 ammette un punto unito sulla sfera e questo punto non coincide già col centro 

 scelto su di esso per la proiezione stereografica, il gruppo si può trasformare, 

 mediante una trasformazione proiettiva che lascia ferma la sfera, in un gruppo 

 che ammetta come punto unito il centro di proiezione. È allora manifesto 

 che eseguendo la proiezione stereografica si ottiene in S 3 un gruppo di trasfor- 

 mazioni conformi che lasciano fermo il piano all' infinito, cioè un gruppo di 

 similitudini. Si ha dunque che ogni gruppo conforme di S 3 simile a un 

 gruppo proiettivo della sfera di S 4 , il quale ammetta un punto unito fisso 

 sulla sfera, è equivalente dentro il gruppo conforme totale a un gruppo 

 di similitudini. 



2. Ciò premesso, per una ben nota proprietà dei gruppi proiettivi inte- 

 grabili di uno spazio a quante si vogliano dimensioni ( 2 ), a noi torna assai 

 conveniente di sostituire al problema di determinare i gruppi proiettivi reali 

 oo 1 ed oo 2 della sfera di S 4 la ricerca più generale dei gruppi proiettivi 

 integrabili reali della sfera di S 4 . 



La proprietà, cui abbiamo alluso, dei gruppi proiettivi integrabili di S H 

 si è che ogni gruppo siffatto ammette un punto unito, una retta unita pas- 

 sante per esso, un piano unito contenente la retta unita uno S n _, 

 unito contenente lo S n _ 2 unito. Così un gruppo proiettivo integrabile di una 

 sfera Q di S 4 ammette un punto unito P, una retta-unita r passante per P, 

 un piano unito n, contenente r, e uno spazio unito a tre dimensioni S 3 , con- 

 tenente re. Poiché vogliamo determinare tipi di gruppi reali, dovremo tener 

 conto delle condizioni di realità; e, perciò, lasciando da parte il caso in cui P 

 cade sulla sfera (caso che, come già sappiamo, dà luogo a gruppi equiva- 

 lenti dentro il gruppo conforme totale a gruppi di similitudini) distingueremo 

 tre casi secondo che il punto P è : a) immaginario ; b) reale ed esterno alla 

 sfera; c) reale ed interno alla sfera. 



a) Se P è immaginario, esso col suo coniugato determina una retta 

 reale unita, che possiamo senz' altro supporre esterna alla sfera Q, poiché in 



(') Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie [Mathematische Annalen, t. V 

 (1872), pp. 257-277 (p. 267)]. 



( 2 ) Lie-Engel, Theorie der Transforinationsgruppen. Bd. Ili, pag. 681. 



