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caso contrario codesta retta intersecherebbe Q in due punti uniti (') rispetto 

 al gruppo considerato, il quale sarebbe, perciò, simile ad un gruppo di simi- 

 litudini dello spazio a tre dimensioni. Insieme con codesta retta sarà imito 

 il piano reale re, polare di essa rispetto a Q, il quale segherà la sfera secondo 

 un cerchio reale. Il gruppo subordinato nel piano n è un gruppo proiettivo 

 integrabile, che trasforma in sè un cerchio reale, ove è facile convincersi che 

 esso ammette necessariamente un punto unito reale, o appartenente al cerchio 

 o interno ad esso. Nel primo caso il gruppo considerato di S 4 è simile ad 

 un gruppo di similitudini di S 3 : il secondo caso sarà discusso più innanzi [<?)]. 



b) Il punto P sia reale ed esterno a Q. Possiamo subito escludere 

 che il gruppo ammetta qualche punto unito interno a Q, perchè se un tal 

 punto esistesse, la congiungente di esso con P intersecherebbe la quadrica Q 

 in due punti uniti rispetto al gruppo. Allora nello spazio S 3 a tre dimen- 

 sioni, polare di P rispetto a Q„ il quale è unito, resta subordinato un gruppo 

 proiettivo integrabile che trasforma in sè una sfera reale ordinaria. Se il 

 punto unito, ammesso da codesto gruppo integrabile di S 3 , è reale (ed esterno 

 a Q), sul piano polare di esso rispetto alla sfera di S 3 è subordinato un 

 gruppo integrabile che lascia fermo un cerchio reale, e si conclude, come 

 pocanzi, che il gruppo considerato in S 4 o ammette un punto unito su Q, o 

 rientra sotto il caso c), che considereremo poco avanti. Se poi quel punto 

 unito è immaginario, esso col coniugato determina una retta unita, la cui 

 polare rispetto alla sfera di S 3 è pur essa unita. Una di codeste due rette 

 interseca la sfera di S 3 e quindi su Q esiste anche in questo caso un punto 

 unito. 



e) Se, infine, P è reale ed interno a Q, possiamo escludere che esi- 

 stano punti uniti reali esterni a Q. Nello spazio S 3 polare di P rispetto a Q 

 (esterno a Q) è subordinato un gruppo integrabile, che ammette un punto 

 unito immaginario: uniti saranno il punto coniugato, la congiungente reale 

 e la retta reale polare di questa in S 3 rispetto alla quadrica (immaginaria) 

 sezione di S 3 con Q. Abbiamo così il gruppo proiettivo permutabile che am- 

 mette un punto unito reale interno a Q e quattro punti uniti immaginari a due 

 a due coniugati. 



Possiamo dunque enunciare il seguente: 



Teorema. Ogni gruppo conforme integrabile reale dello spazio ordi- 

 nario o è equivalente dentro il gruppo conforme totale ad un gruppo di 

 similitudini, o è simile (mediante una proiezione stereografica di S 4 combi- 

 nata eventualmente con una trasformazione conforme di S 3 ) al gruppo G pro- 

 iettivo permutabile della sfera di S 4 , che ammette un punto unito reale 



(') Si esclude che codesti due punti possano essere scambiati l'uno nell'altro, perchè 

 qui intendiamo occuparci di gruppi propri (e non misti). 



