ed interno alla sfera e quattro intinti uniti immaginari a due a due 

 coniugali. 



3. Si trova senza difficoltà di sorta, che il gruppo 6 è a due para- 

 metri: se 



(1) ^,+^2+^3+^4 — ^5=0 



è la sfera invariante, e il punto unito reale è il centro di essa, e i punti uniti 

 immaginari sono (') 



i, 1, 0, 0, 0; —i, 1, 0, 0, 0; 0, 0. », 1, 0; 0, 0, — i, 1, 0, 

 le equazioni finite del gruppo sono (') 



ì/i = X\ cos t x — x 2 sen t\ 

 y % = X\ sen U + x 2 cos t x 



(2) { y 3 = x 3 cos t 2 — x 4 sen t 2 



y± = x 3 sen t 2 + x 4 cos l 2 



2/5 = X5 



Queste equazioni si possono già assumere come le equazioni finite del 

 gruppo conforme di S 3 , che noi cerchiamo, riferito ad un sistema di coor- 

 dinate pentasf eriche omogenee ( 2 ), in cui la relazione quadratica fondamen- 

 tale è la (1). 



Ad ogni modo eseguendo la proiezione stereografica e riferendo il gruppo 

 ad un ordinario sistema di coordinate cartesiane ortogonali, troviamo le seguenti 

 equazioni finite : 



, 2(x cos ti — y sen ^1 ) 



1 + cos U — 2z sen U + (x 2 + y 2 + z 2 ) (1 — cos t 2 ) 



, 2(x sen /] + ?/ cos ti) 



1 : \ V — 1 + cos t-z — 23 sen t 2 + (x 2 + y 2 + z 2 ) (1 — cos t 2 ) 



sen t 2 + 2z cos t- 2 — (x 2 + y 2 + i 2 ) sen t 2 



1 + cos t 2 — 2z sen t 2 + (x 2 + y 2 + z 2 ) (1 — cos t 2 ) 



Le due trasformazioni infinitesime che generano il gruppo sono: 

 yp — xq , 2sxp + 2syq + (f- — x 2 — y 2 + l)r. 



Poiché il gruppo G è costituito da tutte le trasformazioni proiettive della 

 sfera di S 4 in sè stessa, che ammettono un determinato pentaedro unito, è 

 manifesto che esso non è contenuto in nessun gruppo conforme più ampio, 



(') Cfr. il § III della mia Memoria: Tipi di potenziali che, divisi per una funzione 

 fissa, si possono far dipendere da due sole variabili (Rendic. del Circ. mat. di Palermo, 

 t. XVI). 



( 2 ) Cfr., p. es., Darboux, Lecons sur la tkéorie générale des surfaces, I èr « partie, 

 livre II, chap. VI. 



Rendiconti. 1901, Voi. X, 2» Sem. 22 



