come sottogruppo invariante, e quindi che gli oo 1 gruppi ad un parametro 

 contenuti in G, generati dalle trasformazioni infinitesime 



e \ (VP — X( ì) + ^2 {2zxp -J- 2syq + (« 2 — x 2 — y 2 -j- 1) r) , 



noft sowo /ra /oro equivalenti dentro il gruppo conforme totale. 



4. Dopo queste premesse, determiniamo le superficie che ammettono oo 1 



oo 2 trasformazioni conformi in sè, e cominciamo dalle prime. 



Le superficie che ammettono un gruppo oo 1 di similitudini, sono già state 

 determinate dallo Stàckel (') e sono : i cilindri, i coni, le superficie di ro- 

 tazione, le elicoidi e le superfìcie spirali di Lie e Lewy. 



Eestano a considerare le superficie che ammettono un gruppo oo 1 Gì di 

 trasformazioni conformi, sottogruppo di Gr 2 . Per determinare le traiettorie di 

 un tale gruppo oo 1 , cominciamo dall'osservare che, come risulta immedia- 

 tamente dalle (2), o dalle (3), il gruppo G 2 trasforma in sè ciascuno dei tori 

 circolari del fascio 



(4) x 2 4- f + r 2 — 1 — c ]/x 2 + y 2 = 0, 



1 quali, notiamo incidentalmente, sono tutti propri, cioè tali che i cerchi 

 che li generano per rotazione non sono intersecati dall'asse. 



Ora si osservi che G { , come ogni gruppo conforme, trasforma in sè stesso 

 l'insieme delle sfere (e dei piani) e quindi anche l'insieme delle loro mutue 

 intersezioni, cioè l'insieme dei cerchi (e delle rette). Perciò G^ che trasforma 

 in sè ogni toro del fascio (4), scambierà fra di loro i cerchi dei due fasci 

 (meridiani e paralleli) che si trovano in ciascun toro: anzi, data la conti- 

 nuità del gruppo, Gì trasformerà i paralleli del toro fra di loro e i meridiani 

 pur essi fra di loro. Se allora consideriamo sopra ciascun toro il sistema 

 doppio, costituito dai due fasci dei paralleli e delle traiettorie (il primo in- 

 variante e il secondo di curve invarianti) e ricordiamo che ogni gruppo con- 

 forme conserva gli angoli, concludiamo che le traiettorie di Gì sono traiet- 

 torie isogonali ai paralleli (e quindi ai meridiani) elei tori del fascio 

 invariante (4), cioè lossodromiche di codesti tori. Ogni superficie che am- 

 metta il gruppo Gì si otterrà, dunque, considerando la semplice infinità di 

 codeste lossodromiche toroidali, che passano pei punti di una curva arbitraria, 

 la quale non sia una traiettoria di G t 



Per avere le equazioni di queste lossodromiche, osserviamo che le equa- 

 zioni finite del gruppo Gì generato dalla trasformazione infinitesima ( a ) 



2c (xq — yp ) -j- 2;xp -f- 2zyq -\-(s 2 — x 2 — y 2 -j- 1 ) r 



( 1 ) Beitràge zur Flàchentheorie, VI (Leipziger Berichte, 1898, pag. 12). 



( 2 ) Dando alla costante (reale) c tutti i possibili valori, otteniamo tutti i sottogruppi 

 oo 1 di G 2 , eccettuato il gruppo di rotazioni yp — xq , che rientra nei gruppi oo 1 di si- 

 militudini, di cui abbiamo già tenuto conto. 



