si ottengono dalle (3) ponendovi t x = ct 2 = et: se nello stesso tempo dalle 

 coordinate cartesiane passiamo ad un sistema di coordinate cilindriche, in 

 cui l'asse dei cilindri coordinati è il primitivo asse delle otteniamo, indi- 

 cando con q e (p il vettore e l'angolo polare nel piano $ = o , 



2<? 



* 1 -f cos / — 2z sen 2 -f- ( 1 — cos t) (z 2 + q 2 ) 

 (p' = (p -\- et , 



2 Or — cotgjif) 



/ = cotg \ t 



1 -J- cos t — 2z sen t -4- (1 — cos (s 2 -f- £> 2 ) 

 Gli invarianti di questo gruppo sono: 



tfi = g2 _|_ , 2 + 1 , o 1 » = SP - c arctg 2^ , 



onde risulta, se si sceglie come superficie iniziale la sfera di centro nel- 

 l'origine e raggio uguale all'unità, che le equazioni delle traiettorie di Gì 

 [lossodromiche dei tori (4)] sono: 



/ cos ip 



i * 1 — sen t/'o sen ^ 

 (5) < (f = 6 -f a z , 



/ sen t/'o cos j( 



1 — sen ìp-o sen % ' 



dove è la latitudine e 6 è la longitudine (rispetto ai piani diametrali 

 z = , y — ordinatamente) del punto, in cui la traiettoria interseca la 

 sfera iniziale, e % varia lungo ogni singola traiettoria. 



Le equazioni parametriche delle superficie invarianti rispetto a Gì si 

 otterranno dalle (5) ponendovi if) , 6 , % uguali a tre funzioni arbitrarie di 

 due parametri u, v; e l'equazione cartesiana sarà data, se Sì (Ci , c 2 ) è una 

 funzione arbitraria dei suoi argomenti o x e c 2 , da 



n( V^-hy 2 , y f £ + ?/ a + g! — ^ n 



i2 ( 1 !— 2 , arctg — — e arctg ' = . 



U 2 + ?/ 2 + - 2 + i * 2 * / 



Abbiamo così il 



Teorema. Ogni superficie, che ammetta un gruppo ad un parametro 

 di trasformazioni conformi, è trasformabile mediante una trasformazione 

 conforme o in una superficie che ammette un gruppo di similitudini o in 

 una superficie 



- , arctg c arctg „ 



x 2 + ?/ 2 + + 1 s a? s 2^ 



)- 



