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5. Riserbando per altra occasione lo studio geometrico di codeste ultime 

 superficie, passiamo ad occuparci delle superficie che ammettono oo 2 trasfor- 

 mazioni conformi in sè. 



Codeste superficie sono trasformabili mediante una trasformazione con- 

 forme o in superficie che ammettono un gruppo a due parametri di simili- 

 tudini, o in superficie invarianti rispetto al gruppo G 2 (n. 2). 



Le superficie, che ammettono un gruppo oo 2 di similitudini, sono state 

 implicitamente determinate dall'Enriques ('). 



Partendo dalla tabella in cui l'Enriques ha enumerato i gruppi di oo 2 

 di omografie spaziali, si trova che i gruppi oo 2 di similitudini sono i tre 

 seguenti : 



p , zq — yr 

 zq — yr , xp -j- yq ~\- zr ; 

 onde risulta immediatamente che le superficie che ammettono un gruppo oo 2 

 di similitudini sono i piani, e i cilindri e coni di rotazione. 



Si verifica poi direttamente che il piano ammette un gruppo conforme 

 oo 6 , il quale, se il piano invariante è il piano z = 0, è il gruppo 



p,q ,yp — xq , xp + yq' -f- zr 

 (x 2 — ?/ 2 — z z )p -j- 2 xyq -f- 2 xzr , 2 yxp -f- (y 2 — ^ — ^ 2 ), q + 2 yzr , 



e che il cono e il cilindro di rotazione non ammettono più di co 2 trasfor- 

 mazioni conformi ( 2 ). 



Quanto poi alle superficie che ammettono un gruppo oo 2 conforme, non 

 equivalente a un gruppo di similitudini, esse sono trasformabili mediante 

 una trasformazione conforme in superficie invarianti rispetto al G 2 , cioè in 

 tori circolari (propri), i quali, come si verifica direttamente, non ammettono 

 altre trasformazioni conformi fuori di codesto gruppo. 



6. Ci rimane a vedere se esistano superficie, le quali ammettano più 

 di oo 2 trasformazioni conformi in sè stesse. Tale è, come già sappiamo, il 

 piano e quindi la sfera (*), trasformata del piano mediante una inversione 

 (e una traslazione). 



• 0) Le superficie con infinite trasformazioni proiettive in sè stesse (Atti del R. Ist. 

 Ven. di se. lett. ed arti, t. IV, s. VII, 1892-93, pag. 1590). Notiamo che la restrizione 

 là imposta nel considerare gruppi di punti uniti distinti, si può qui considerare come sod- 

 disfatta. t 



( 2 ) Qui parliamo di superfìcie reali e quindi escludiamo il cono immaginario ciclico 

 delle rette minime passanti per un punto, il quale ammette notoriamente il gruppo con- 

 forme totale. 



( 3 ) Il gruppo ammesso dalla sfera x' 1 ~\- y 2 -\- z 2 — a 2 = è generato dalle trasfor- 

 mazioni infinitesime: 



zq — yr , xr — zp , yp — xq 

 {x 2 — y 2 — z 2 — a 2 )p-\- 2xyq + 2xzr , 2yxp -j- (y 2 — z 2 — x 2 — a 2 ) q -f- 2yzr, 



2zxp -f- 2zxq -j- (z 2 — x 2 — y 2 — a 2 )r . 



