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la direzione coniugata a quella della relativa linea (u). Dunque: gli assi 

 dei circoli osculatori della linea di curvatura (u) del primo sistema 

 sopra S sono le tangenti a quelle linee (v) della prima falda S l della 

 evoluta, che corrispondono alle linee di curvatura del secondo sistema. 



Ciò posto, si considerino le sfere (principali) che toccano la superficie S, 

 avendo il centro nel rispettivo centro Mi di prima curvatura, e contengono 

 per conseguenza i circoli osculatori delle linee (u) sopra S. Se spostiamo il 

 centro Mi lungo una linea (y) di Si , avremo una semplice infinità di queste 

 sfere, il cui inviluppo sarà una superficie a linee di curvatura circolari ; di- 

 mostreremo il teorema A) provando che questi circoli di curvatura sono pre- 

 cisamente i circoli osculatori delle linee (u) di S. E infatti le sfere princi- 

 pali toccando la superficie S, il circolo caratteristico di una tale sfera 2 

 (cioè la sua intersezione colla successiva nella serie (v) ) passerà pel punto 

 M di S e giacerà nel piano condotto per M normalmente alla direzione dello 

 spostamento del centro ; questa è segnata dall' asse del circolo osculatore 

 della (u) in M, e ciò dimostra la nostra asserzione. 



2. Possiamo confermare con un breve calcolo le proprietà sopra stabilite 

 geometricamente. 



Riferita la superficie S alle sue linee di curvatura u , v , e ritenendo 

 le consuete notazioni ('), poniamo 



XX ~7ìOC -rj- 1 ~*òOC 



avremo le seguenti forinole fondamentali : 



(^x, = _j_^e x ^- 2 = J_Vlx ^ X _ 1tK x 



\ ~òu |/q ~òv " r't'- •■" ~òu j/q ^ v 1 1 ^ u r 2 1 



(2) 



)^i = J_VC v 1 7>f/G v t/^v ^X /G Y 



^ y |/E ~òu 2 ' |/e 1>u 1 -ft ■ 1 r 



La sfera principale avente il centro nel primo centro Mi di curvatura, 

 di coordinate 



(3) sei = x — ri X , y l = y — r, Y , 3 1 =z — r i Z, 

 ha per equazione 



(4) (§ - + (ri - yi Y + (£ - s,f = r\ , 



indicando con f , ?y , £ le coordinate correnti. Spostando il centro Mi lungo 

 una linea (v) sopra S! , il circolo caratteristico della sfera (4) sulla superficie, 



(*) Vedi le mie Lezioni di geometria differenziale, cap. IX. 



