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inviluppo si otterrà associando alla (4) 1' equazione che ne risulta derivan- 

 dola rispetto al parametro u, con che si ottiene a causa delle (2) : 



2{t — x){tf&Ì\ 



■ = 0. 



Avendo riguardo alla forinola di Codazzi 



essa può scriversi anche: 



(ri |/E 7)« ) 



= 0, 



e combina, come dimostrano le (2), (3), colla equazione del piano osculatore 

 alla prima linea di curvatura (u) della S: 



£ — x 



v — y 



e— 



1>X 





IsS 



~àv 







1) 2 X 





iPs 



'ÒV 2 





~ÒV' 2 



Ne risulta la conferma analitica del teorema A). 



3. Si è visto sopra che i circoli osculatori delle linee di curvatura (u) 

 del primo sistema lungo ciascuna linea di curvatura (v) del secondo, gene- 

 rano una superfìcie sulla quale essi sono linee di curvatura. Ancor più fa- 

 cilmente si vede che la stessa cosa avviene per il luogo dei circoli oscula- 

 tori di una medesima linea (ti); sussiste invero la proposizione generale 

 seguente : 



B) La superficie luogo dei circoli osculatori di una curva qua- 

 lunque dello spazio ammette questi circoli per linee di curvatura. 



La dimostrazione è immediata, ove si consideri che ogni circolo oscu- 

 latore è l' intersezione della sfera osculatrice colla successiva, e per ciò la 

 superficie considerata non è altro che l' inviluppo delle sfere osculatoci. 



Così adunque, per qualsiasi superficie S, nella congruenza dei circoli 

 osculatori delle linee di curvatura (u) di un sistema, sono contenute due 

 serie oo 1 di superficie aventi questi circoli per linee di curvatura; le prime 

 si ottengono associando i circoli lungo le linee (u) stesse, quelle della se- 

 conda serie associandoli invece lungo le linee di curvatura (v) del secondo 

 sistema. Eisulta inoltre dalle considerazioni superiori, che le normali a queste 

 superficie, lungo uno dei detti circoli, concorrono per la superficie (ti) 



