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della prima serie nel centro M della sfera osculatrice in M alla linea di 

 curvatura (u), e per quelle (v) del secondo sistema nel centro principale Mi 

 di curvatura relativo alla linea (u) stessa. 



4. Da quanto precede sorge spontanea la domanda : Quando accade che 

 le due serie di superficie, a linee di curvature circolari, formate nel modo 

 descritto coi circoli osculatori delle linee di curvatura di un sistema 

 della data sugerfcie S, si tagliano ortogonalmente lungo questi circoli? 



Pel teorema inverso di Dupin si può porre il problema sotto l'altra 

 forma: Per quali superficie S accade che i circoli osculatori delle linee di 

 curvatura di un sistema ammettono una serie di superficie ortogonali ? 



Per risolvere la questione proposta conviene esprimere che, in ogni punto 

 M di una linea di curvatura (u), la sfera osculatrice della linea è normale 

 alla superfìcie. Ora, il piano normale alla linea (u) avendo per equazione 



le coordinate del centro della sfera osculatrice della linea (u) si cal- 



coleranno associando alla (5) le due equazioni che se ne ottengono con una 

 prima ed una seconda derivazione rispetto a v. A causa delle (3), si hanno 

 così le due equazioni seguenti : 



(5) 



(£_tf)X 2 + ^-^Y 2 + (£-s) Z 2 = 0, 



Ma, per le nostre ipotesi, deve essere 



20 — x)X = Q 



onde le due equazioni 



debbono coincider 



re, ciò che si esprime colla relazione 



Integrando risulta 



(6) 



