non passava altra curva attraverso la quale si scambiassero due valori 

 di 2 appartenenti alla nostra falda, il che può sempre supporsi — sciegliendo 

 convenientemente gli assi — ove il punto semplice P non sia base per le 

 curve L. 



3. Un punto P, semplice per la curva multipla C, che sia base per 

 le curve polari L , abbassa certo la classe delle sezioni piane passanti per 

 esso, ma non in generale il genere; tuttavia nell'intorno (del prim'ordine 

 o d'ordine superiore) di P vi è qualche punto che abbassa il genere delle 

 sezioni superficiali obbligati a contenerlo, il che si riconosce facilmente nei 

 singoli casi. Il più semplice esempio è offerto dall'ordinario punto cuspidale 

 di una curva nodale (pince-point), nel quale due falde della superficie ven- 

 gono a coincidere in una, le sezioni presentando una cuspide anziché un 

 nodo come accade per le sezioni generiche. Una facile verifica analitica 

 (che — dato il carattere differenziale della questione — si può compiere 

 supponendo C una retta) mostra che in un punto cuspidale P vi è in gene- 

 rale una retta, a (diversa dalla tangente alla C) asse di un fascio di piani 

 che segano la superficie secondo curve aventi un tacnodo in P: il punto Pi, 

 infinitamente vicino a P sulla retta a, risulta doppio per la superficie, e 

 per esso passano effettivamente tutte le curve L. Ora se si eseguisce una 

 trasformazione quadratica spaziale (di prima specie) che abbia come punto 

 fondamentale isolato il punto cuspidale P, la nostra superficie f si trasforma 

 in una superficie f la quale avrà come doppia la curva C, trasformata di C, 

 e su questa sarà punto cuspidale il punto P\ omologo del punto di C infi- 

 nitamente vicino a P. Ora P' essendo un punto cuspidale come P, prossimo 

 ad esso e fuori della curva doppia esisterà un punto doppio P| , che si ri- 

 conoscerebbe facilmente appartenere al piano fondamentale tv, trasformato 

 dell'intorno del punto P. Potendosi ripetere indefinitamente la trasforma- 

 zione precedente, si riconosce che: esiste una infinità discreta di punti 

 doppi infinitamente vicini alla curva nodale C , nell'intorno di un suo 

 punto cuspidale. 



Le varie particolarizzazioni del punto cuspidale si possono riconoscere 

 nel modo più facile considerando superficie dotate di una conica doppia o 

 multipla, proveniente da una trasformazione quadratica in cui la conica cor- 

 risponde alle generatrici del cono quadrico fondamentale (l' ipotesi che C 

 sia una conica è una restrizione solo apparente). Si vede in tal modo che 

 il caso in cui la suddetta retta a risulti tangente alla C dà origine a un 

 punto cuspidale particolare, riunione di due punti cuspidali infinitamente 

 vicini (quantunque la sezione generica non metta in luce alcuna differenza 

 dal caso generale); nell'intorno di un siffatto punto cuspidale, P, esiste 

 una curva doppia infinitesima; infatti se si eseguisce una trasformazione 

 quadratica avente in P il punto fondamentale isolato, il punto P' prossimo 



Rendiconti. 1917, Voi-. XXVI. 2" Sem. 2 



