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a P sa C dà origine ad m tacnodo per la superficie trasformata, e le se- 

 zioni passanti per P' hanno il genere abbassato. 



Una generalizzazione del punto cuspidale ordinario è offerta dal punto 

 cuspidale del terz'ordine, cioè da un punto P di una curva tripla (o di 

 maggior molteplicità) in cui tre falde lineari si saldino in una del terzo 

 ordine, le sezioni piane per P presentando un ramo ordinario nel terz'ordine. 

 In un tale punto P le L presentano una cuspide con tangente fissa, e il 

 punto P, , successivo a P su questa tangente, è un punto doppio bipla- 

 nare dispari, non limite di due punti doppi, quantunque il punto cuspi- 

 dale P possa ritenersi limite di due punti cuspidali ordinari infinitamente 

 vicini. 



La particolarità presentata da un punto cuspidale del second'ordine, 

 che ne abbia un altro infinitamente vicino, si riscontra generalizzata per i 

 punti delle curve cuspidali : se P è un punto semplice di una curva cuspi- 

 dale C , i punti Pi , Pg , P 8 , ... , successivi a P sopra C , sono punti che 

 alternativamente abbassano il genere {e non il rango) delle sezioni super- 

 ficiali passanti per essi; così le sezioni passanti per P, P, , presentano in P 

 tre punti infinitamente vicini e hanno il genere abbassato di un'unità, quelle 

 passanti per P , P, , P 8 , P 3 , ne presentano sei e hanno il genere abbassato 

 di due unità, ecc. (') [Di ciò si può dare una facile verifica analitica inter- 

 secando la superficie f con superficie cilindriche y = y[x)\, e considerando 



, . ... , l>f{z , x , y(x)) 

 la curva f(s<x, ?/(#)) = e la relativa polare — — — = OJ. 



4. Lasciando da parte i punti semplici di C che siano ipermiiltipli 

 per f , i quali possono presentare le singolarità le più complicate, veniamo 

 ai punti multipli della curva multipla, limitandoci ai casi più semplici. 

 Chiameremo qui inessenziali quei punti nei quali la singolarità della super- 

 ficie dipende dalla singolarità della curva multipla; ciò posto vediamo 

 che : 



Esistono punti multipli inessenziali della curva multipla die non 

 abbassano ne il genere nè la classe delle sezioni piane. 



Il caso più semplice viene offerto da un punto P ove s' incrociano due 

 curve doppie o due rami di una stessa curva doppia: le sezioni per P pre- 

 sentano un tacnodo. Questo caso si realizza prendendo una superficie /' com- 

 posta di due superficie g> e ip che si tocchino in P. Questo esempio si può 

 generalizzare in due sensi : si ha un punto, P, ancor doppio per f, per cui 

 la curva doppia passa con i rami (le sezioni per P presentando i punti 

 doppi successivi) ove si sommino due superficie y> e ip aventi a comune 

 i paraboloidi osculatori fino all'ordine i — 1 ; si ha un punto z'-plo per f 



( l ) Gfr. B. Levi, Annali di matematica, tomo 2°, serie III, Intorno alla coimposi- 

 zione ecc , § 1, n. 5. 



