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e per le sue sezioni, per cui passano 1 ^ — — — rami della curva doppia, 



sommando i superficie generiche passanti per P. 



Esistono punti multipli inessenziali della curva multipla che abbas- 

 sano il genere senza abbassare la classe delle sezioni piane. 



Il caso più semplice viene offerto da un punto doppio che sia incrocio 

 di due curve cuspidali, per es. l'origine delle coordinate nella superficie 



f = s 2 — x 3 y* (p(x y z) — . 



(p(xyz) essendo un polinomio qualunque, per la quale sono rette cuspidali 

 gli assi x e y : un piano che venga a passare per l'origine sega la super- 

 ficie secondo una curva non più dotata di due cuspidi ma di tre punti doppi 

 infinitamente vicini, sicché il genere diminuisce di un' unità pur restando 

 invariata la classe. 



Il fatto messo in luce dall'esempio precedente sembra contraddire alla 

 veduta che di un punto multiplo, abbassante il genere delle sezioni super- 

 ficiali per esso, viene porta dalla geometria sopra le superficie, dove le curve 

 fondamentali, 0, di un sistema lineare |K|, abbassanti il genere delle curve 

 residue (cioè le curve fondamentali proprie) fan parte (generalmente) del 

 sistema jacobiano di |K|: in corrispondenza a ciò, se le K divengono le 

 sezioni piane della superficie /'. e quindi la 6 è rappresentata da un punto 

 multiplo, P, abbassante il genere delle sezioni piane, dovrebbe P apparte- 

 nere alle curve L, sezioni variabili delle polari di f, e quindi abbassare 

 la classe delle sezioni che vengono a passare per P. Questa apparente con- 

 traddizione si risolve osservando che si può avere una 6, riducibile sopra 

 una trasformata ad un punto semplice P, la quale dia luogo ad una ecce- 

 zione per il teorema» precedente: così accade di regola se P è punto comune 

 a due curve luogo di coppie di punti infinitamente vicini neutre per |K|, 

 nel qual caso le K costrette a passare per P acquistano ivi un punto doppio. 



Esistono ancora punti multipli inessenziali della curva multipla che 

 abbassano la classe ma non il genere delle sezioni piane. L'esempio più 

 semplice si ottiene proiettando sullo spazio S 3 una superficie P di S 4 che 

 abbia una trisecante p , passante per il centro di proiezione 0, quando 

 questa trisecante (1,2,3) diventi tangente (2 = 3). La proiezione, f, avrà 

 un punto triplo P, la cui singolarità risulta dal fatto che per P passano un 

 ramo lineare e un ramo cuspidale della curva doppia nodale di f; l'asserto 

 si può verificare osservando come il ramo cuspidale corrisponda alla coinci- 

 denza delle due coppie di punti (1 2) e (1 3) allineati con 0. 



5. Nei casi che precedono il cono osculatore alla f nel punto P è 

 sempre costituito di piani da contarsi una o più volte. Ora vale in gene- 

 rale il 



