colle analoghe, il segno = significando eguaglianza a meno di un fattore 

 comune di proporzionalità nelle tre forinole. 



Dalle (4) , (5) seguono poi subito pei coseni di direzione X 3 , Y 3 , Z 3 

 della normale S' le forinole : 



(6) X 3 == f/G sen a X, + (cos ti X 2 4- sen 6 X,) 4- 



' |/e ìli senff ' 



_j_ |/q cos a (sen 6* Xj — cos ti X 3 ) . 



3. Venendo ora alla seconda delle condizioni enunciate, che le linee 

 u,v siano coniugate sopra S' , questa potrà esprimersi coll'equazione: 



(7) sx;f : = o. 



Ma dalle (4), derivando rapporto a v celle (1), ed osservando la (5) e la (6), 

 abbiamo 



~òK[ sen e sentì , . T>a L , 



= X 2 H < — sencX, + cosff ( — sen0X 2 4- cos0X 3 ) > . 



~òv a ~òv ( . 1 1 M 



e per ciò la (7), avendosi 8X3X3 = 0, resta semplicemente — = 0, 



onde segue che a è una funzione della sola u: L'angolo a che formano 

 fra loro le tangenti in punti corrispondenti alle linee di curvatura 

 v = cost sopra S , S' deve rimanere invariabile lungo le linee di curva- 

 tura u = cost dell'altro sistema. 



Raggiunto questo primo risultato, prendiamo le equazioni differenziali 

 (a) , (b) cui deve soddisfat e la funzione = ti(u , v) , ed avremo il sistema : 



[1,6 - l|/E . nfE . . f/E 1 



\ — = tg e J — 4 = — — cos ti 4- 1 — sen ti [ 



] -iu 6 ( a 1 j/G ~òv ' r 2 S 



i ì>0 |/G . cottf DI' G . . VG 



I — = 1 — -A = — 1 — cos ti 4- i — sen 6 , 



\ liv r x j/e !>v a 



dove è da ricordarsi che <r = a(u) è funzione di u soltanto, la cui derivata 

 si indicherà con a' (u) . Ora si formi la condizione d' integrabilità della (I) 

 derivando la prima rapporto a y, la seconda rapporto ad w, e sottraendo 

 con riguardo alle (I) stesse ed alle forinole (a) di Codazzi. Omettendo i ter- 

 mini che si distruggono, resta: 



tg a cos ti] — ( — = — v - — j — cot* a — ( —= — — 1 4- 

 l ^ \1/Q lv / "ì«\|/E a* / 



Xr^z a*/ 1 sen' 



<* |/E ">» ) 



= . 



