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Il fattore tgcrcostf non può annullarsi nelle nostre ipotesi, e deve 

 quindi eguagliarsi a zero la quantità fra parentesi { \ , ciò che per l'equa- 

 zione (fi) di Gauss, si traduce nella equazione equivalente 



(8) A f-L m\ + S -^L j/ÉG _ *2»* JL ^ 

 Dm Vf/B liu ) a sen a | E Dm 



Ponendo 



(9) U = 



= . 



sen e 



sarà U una funzione della sola u , e la (8) prenderà la forma definitiva: 



1 ; ^\j E ) U 2 r Uj/e 7>m \ 



4. Coììì per le superficie S, che risolvono il problema A), è trovata 

 quale condizione necessaria la (A), a cui debbono soddisfare gli elementi 

 della S, riferita alle linee di curvatura (u , v). Proviamo ora che questa 

 condizione (A) è altresì sufficiente ; anzi, quando sia soddisfatta, esisterà 

 non una soltanto, ma una doppia infinità di superficie S', ciascuna delle 

 quali formerà con la S una coppia (S , S') del problema A). 



E infatti, valendo la (A) con U funzione di u soltanto, si calcoli secondo 

 la (9) un angolo <r = a(u) dalla relazione 



a 



sen a = — , 



dove per a si prenderà una costante qualunque ('). 



I calcoli stessi eseguiti al n. 3 dimostrano che il sistema differenziale (I) 

 per la funzione incognita = 6(u , v) è completamente integrabile ; per ciò 

 il suo integrale generale as= 8(u , v , c) conterrà, oltre la a, una nuova 

 costante arbitraria c. 



Scelta una tale soluzione 0(u , v . c) delle (1), le forinole (2) daranno 

 una superficie S' che formerà con S una delle coppie richieste. 



E poi evidente che la relazione fra S . 8' è reciproca, e per ciò la S' 

 apparterrà alla sua volta alla medesima classe (A), ed ammetterà quindi 



00 2 superficie trasformate, fra le quali la S piimitiva, e così via. 



In fine si osservi che il sistema differenziale (I), prendendo per inco- 

 gnita tg i 0, assume la forma di Riccati. E nella applicazione ripetuta delle 

 trasformazioni alle superficie della classe (A) vale al solito un teorema di 

 permutabilità, sicché basta integrare completamente la prima equazione di 



(') Affinchè a sia reale bisognerà però che, almeno in un tratto di variabilità per u, 

 sia |a|<|U|. 



