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Riccati, e le successive si integrano allora in termini finiti. Tutto ciò risul- 

 terà ricondotto a proprietà note dei sistemi tripli ortogonali pseudosferici 

 stabilendo i teoremi di cui al num. seguente. 



5. Dimostriamo che: ogni superficie S della- classe (A) è una super- 

 ficie secondaria in un sistema triplo ortogonale pseudosferico. Per questo 

 ricerchiamo il grado di arbitrarietà delle superficie S della classe (A), rife- 

 endoci alle formole della rappresentazione sferica. Poniamo colle notazioni 

 usuali 



H, = t/E , H 2 = l/G , A, = , hi = — > 



r 2 r, 



e introduciamo inoltre le rotazioni 



1_ Vh = J_ 7)H 2 



' hi isti Yii ~òu 



I 1 Vh __ 1 7>H, 



( A 2 tv H 2 >y ' 



Il sistema differenziale caratteristico per le superficie della classe (A) 

 prende la forma 



l Vii O 7 ^ 2 ~ì>fil2 H) H 2 0' 



1 7)« ìu l>u Ir U 



i Vii a , ^H] V tl Hi H 2 li' 



dove U sarà pensata come una funzione assegnata di & . 



I teoremi generali per l'esistenza degli integrali dei sistemi ditferen- 

 ziali assicurano che, per individuare una soluzione 



(hi , lì? ; Hj , H 2 ; /S- ie , /? 21 ) 



del sistema (li), si possono assegnare «<i arbitrio le tre funzioni di v cui 

 si riducono joer u — 



/io , H 2 . /?12 , 



e così pure ad arbitrio le tre funzioni di u, cui si riducono per o — O 



h ; Hi , $i (')• 



Questo si interpreta geometricamente cosi: 



(') Si osservi che nel sistema (II) non figurano derivate nei secondi membri. I teo- 

 remi d'esistenza si applicano quindi nella massima generalità nel campo reale, sotto le 

 sole condizioni di continuità per la funzione U « per le funzioni iniziali assegnate. 



