— 31 — 



Per individuare una superfìcie S delia classe (A) basta assegnare, 

 ad arbitrio, due sue linee di curvatura G , r, diciamo v = , w = , 

 che si taglino ortogonalmente in un punto 0. 



E infatti se prendiamo, per semplicità, a parametri u , v gli archi delle 

 curve G , r, contati a partire da 0, avremo 



= 1 , per v = 

 He = 1 , per u = , 



e l'arbitrarietà che resta nelle altre funzioni 



hi{u,o) , m«,o) ; . MO,») 



permette appunto, ed in un sol modo, di dare alle curve v = , u = 

 della S le forme prescritte C,r. 



Se ora per ciascuna linea di curvatura u = cost della superfìcie S , 

 così individuata, facciamo passare la superficie pseudosferica di curvatura 



= — — che taglia lungo questa linea ortogonalmente la S, i teoremi sulle 



caratteristiche dei sistemi tripli pseudosferici (') dimostrano che le oo 1 su- 

 perficie pseudosferiche costruite formeranno una famiglia di Lamé, e per ciò 

 la superficie S sarà una superficie secondaria nel sistema, come si è enun- 

 ciato. 



6. Consideriamo ora il caso particolare notevole che si ottiene dai risul- 

 tati generali precedenti quando per la funzione arbitraria U si prenda una 

 costante k. L'equazione caratteristica (A) diventa ora 



ed il sistema triplo ortogonale pseudosferico individuato da una superficie S 

 di questa classe conterrà superficie pseudosferiche tutte dello stesso raggio k 

 Dunque: l'equazione (B) caratterizza le superficie secondarie nei sistemi^ 

 pseudosferici di Weingarten. 



Si osservi che dalla (B) segue l'altra 



i, u i_ri/fy Gj 



onde avremo 



(!) Cfr. Lezioni, voi. II, § 430. 



