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con V funzione della sola v. Cangiando il parametro v, possiamo fare 

 V = 1, e porre quindi 



1 "òj/G 1/G 



= cos o) , — — = sen w , 



j/E ~ìm ti 



dove w è un angolo ausiliario. Così abbiamo 



j/É~ = k — , \G = k sen to , 



e l'elemento lineare, riferito alle linee di curvatura, delle superficie secon- 

 darie nei sistemi di Weingarten prende quindi la forma caratteristica 



(IO) ds 2 = k 2 1 ^ ) 2 c?w 2 +W w rf^ 



Se di una tale superfìcie S consideriamo le oo 1 superficie S' trasfor- 

 mate che si ottengono fissando per l'angolo a un valore costante qualunque 



^diverso però da e prendendo, secondo la (9) 



a = k sen a , 



è chiaro che le linee di curvatura y = cost delle oo 1 superficie S' corrispon- 

 denti ad una medesima v = cost di S saranno tracciate sulla superficie 

 canale di raggio a, avente per asse questa linea di S, e ne taglieranno i 



circoli sotto l'angolo costante — — <r. 



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7. Veniamo da ultimo al caso tìn qui escluso a •= — , nel quale tut- 



ò 



tavia le proprietà geometriche delle superficie della classe (B) si manten- 

 gono come proprietà limiti. Intanto nella costruzione geometrica testé indi- 

 cata le oo 1 curve derivate da una curva v = v della S si contraggono in 

 un'unica curva, in generale con due rami distinti r, , , che formano lo 

 spigolo di regresso (reale od immaginano) della superficie canale ('). Prove- 

 remo che in effetto le due superficie della classe S, , S_ a , luogo di questi 

 due rami , r_, , sono due superficie della classe (B), colle linee u , v 

 per linee di curvatura. Il passaggio dalla S alle due contigue (a destra e 

 a sinistra) Si , S_j corrisponde alla trasformazione complementare dei si- 

 stemi di Weingarten ( 2 ). La sua ripetuta applicazione fa nascere dalla S, 

 senza calcoli d'integrazione, una serie discreta, estesa all'infinito nei due 

 sensi, di superficie della classe (B) 



(11) S_ 2 ,S_, , S , S, ,S,..., 



(') Cfr. Lezioni, voi. I, § 13. 

 ( s ) Cfr. Lezioni, voi, II, § 445. 



