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Couviene presentare quest'analisi sotto un altro aspetto, che indichi la 

 possibilità di una generalizzazione, relativa al caso delle superficie che ab- 

 biamo in vista. 



Anzitutto il nostro problema fondamentale si riferisce a sviluppi in serie, 

 che vengono forniti dal teorema di Puiseux; ma, poiché l'analisi dipende 

 soltanto da un numero finito di termini delle serie anzidette, è lecito sur- 

 rogare le serie con poli/tomi. Così, sostituendo alla curva data una curva 

 razionale che l'approssimi convenientemente lungo un ramo, siamo condotti 

 a ricercare » i punti multipli successivi di una curva razionale 



considerata nell'intorno d'un suo punto l — ( . Anzi la forma particolare 

 degli sviluppi di Puiseux permette di prendere qui * 



5P,(*) — 1 , 9l {t) = F; 



particolarizzazioni semplificatrici, ma — del resto — non essenziali. 



Si indichi con g> la curva rappresentata dalle formule (2), con n il suo 

 ordine (che sarà dato dall'ordine del polinomio <jp 2 ), e con l'origine delle 

 coordinate x e y, cioè il punto di essa che risponde al valore t = del 

 parametro, cui spetta per la curva la molteplicità v (v < r </...). 



I punti multipli successivi della curva (p, infinitamente vicini al punto 0, 

 si possono mettere in evidenza come segue : 



1) anzitutto, il punto proprio 0, di molteplicità )■ , appare colla 

 stessa molteplicità sulla curva piana y> e sopra una g> r , trasformata di (p 



r i r _|_ 3) 



(appartenente ad uno spazio di — — dimensioni) mediante il sistema 



a 



delle curve piane d'ordine r (^>1); 



2) in secondo luogo il punto Oi di <p , successivo ad 0. appare come 

 punto proprio, colla molteplicità che gli compete, sopra la curva </> r ' proie- 

 zioce di (p r fatta da su un generico iperpiano ; 



3) ancora il punto successivo } appare come punto proprio sulla 

 curva (p' r ' proiezione di <p' r da Oi , e così di seguito. Essendo r abbastanza 

 alto si esaurisce cosi la successione dei punti multipli di g>, trovandosi — 

 da un certo momento in poi — sempre punti semplici. 



Ora, la serie delle operazioni geometriche che abbiamo descritta, si tra- 

 duce in un semplice procedimento algebrico. Infatti la curva g> viene rap- 

 presentata sulla retta t (asse del parametro l) dalla serie lineare g n : 



