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e la g> 2 è rappresentata sulla medesima retta dalla serie r-pla di codesta g\. 

 ad es. per r = 2, dalla 



#2 = lut" + 2A 12 Py,(0 + 2A 13 F + /l 22 g>\(t) + 2A 23 g> s (*) -f 4 33 = 0. 

 Posto 



g> 2 (t) = af' -\- bì*" -] 



con 



»<>' <>"..., 



la presenza dei punti multipli successivi ,0 1 ,0 2 . .. della curva <p, si 

 rivela nell'esame della serie lineare <Z> 2 , come segue: 



1) il punto r-plo risponde alla circostanza che V* comparisce come 

 massimo divisore comune di tutti i termini della tf> 2 , eccetto il termine co- 

 stante 2 33 : 



2) fatto A 33 = (con che si ottiene un sistema lineare oo< entro il 

 sistema oo 5 di tutte le <Z> 2 ) , si divida per f , e si cerchi quindi la massima 

 potenza di t che divida quattro d> 2 linearmente indipendenti (e non una <t> t 

 fuori del sistema di quelle): codesta potenza sarà f o f'-^ e il fattore cor- 

 rispondente darà luogo ad un punto 0] di <p , la cui molteplicità è rispet- 

 tivamente v o v — v ; 



3) questo procedimento si prosegue (rispetto a d>! o — se occorre — 

 a una <ì? r con r ]>2): la serie dei punti successivi della curva <p, colle 

 rispettive molteplicità, vien pòrta dalla serie delle potenze di t che compa- 

 iono come divisori, ciascuna delle quali divide h d> linearmente indipendenti 

 entro un sistema di dimensione h. 



Esaminando gli esponenti che figurano nelle indicate potenze, appare che 

 essi sono: anzitutto i resti delle divisioni successive per la ricerca del mas- 

 simo comun divisore fra v e v' , poi gli analoghi resti nell'algoritmo per la 

 ricerca del massimo comun divisore di v" e di m. c. d. (v ,v'), e così di 

 seguito. 



2. In ciò che precede abbiamo indicato un nuovo modo di giustificare 

 l'analisi dei punti successivi d' un ramo di curva piana, dato mediante la 

 sua rappresentazione parametrica. Ora è interessante osservare come il pro- 

 cedimento spiegato sia suscettibile d'estensione. Anzitutto codesto procedi- 

 mento vale indipendentemente dall' ipotesi particolare 



sp 8 (0 — i . <pi{t) = t\ 



e, quando si abbiano polinomi (p t e (p 3 qualunque, l'analisi assume già 

 l'aspetto generale che s' incontra nella ricerca dei punti successivi di un 

 ramo di curva gobba, estendibile a curve di uno spazio con un numero ar- 

 bitrario di dimensioni (*). 



(') Cfr. la mia Nota del 15 aprile 1917. 



