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Potrà accadere, del resto, che la 6 si scinda in più fattori (polinomi in u , v) : 



6 = 0? 6^ ... 



Ora i punti multipli appartenenti alla superficie <f> nell'intorno di 

 potranno corrispondere : 



a) a curve del piano che, facendo parte dell'intorno di 6, dovranno 

 essere componenti di 6 ; 



b) e a punti o gruppi di punti ( 1 ). 



La ricerca dei punti multipli della specie a) dà luogo ad un procedi- 

 mento di divisioni successive di polinomi, che è l' immediata estensione 

 di quello innanzi descritto per la ricerca concernente le singolarità delle 

 curve. Il procedimento a cui accenniamo verrà spiegato, per semplicità di 

 discorso, nel caso in cui ti sia irreducibile e le , <p t , y> 3 non abbiano 

 altro divisore comune. 



Si consideri il sistema <t> r multiplo, secondo un numero r abbastanza 

 elevato, del sistema lineare di curve piane 



\(f, j = A, ti 9>, -f- X 2 ti 9> 2 -f- X 3 6 <p 3 -j- A 4 (fi ; 

 si potrà scrivere simbolicamente: 



\<p r \ = ( à, e tp x -j- x 2 e (f % -\- x 3 tt <p 3 -f- x 4 (f A y , 



cioè 



|0 r |=s|0j| r = |9| p , 



e si avranno 



AT (r-j-3) ( / - + 2)(r+l) 



curve <t> r linearmente indipendenti ; fra queste <t> r , N r — 1 (corrispondenti 

 all'annullamento del coefficiente rappresentato simbolicamente da Xl) risul- 

 teranno divisibili per 6. Eseguita la divisione, si cercherà ancora di deter- 

 minare, ove esista, un sistema lineare di dimensione N r — -3 di <l> r ti (conte- 

 nente 6 come fattore fisso, cioè N r — 2 <& r indipendenti) divisibili per 2 , 

 e così di seguito. 



Il procedimento avrà termine, giacché si troverà certo un numero s 

 tale che S+1 non divida N r — ( s^-f— 1 ) Q>r indipendenti (e se ciò accade 

 per un r per cui N r ^>s-|- 1, lo stesso accadrà per valori più grandi di r). 

 Infatti l'ordine delle curve <2> r vale nr, n designando l'ordine delle curve </> r , 

 cioè cresce proporzionalmente ad r; invece l'ordine di 6 S è is, i designando 



(') La distinzione è relativa al modo particolare della rappresentazione, poiché una 

 trasformazione birazionale su u e v vale a cambiare un punto in una curva, che tuttavia 

 possiederà i noti caratteri delle curve eccezionali. 



