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l'ordine di 0, e però cresce proporzionalmente ad s; d'altra parte s è vin- 

 colato ad una diseguaglianza rispetto ad N r , dove quest'ultimo numero cresce 

 come il cubo di r; ma se 6 S deve dividere una <t> r , bisogna che sia 



i s .< n r , 



e quindi la possibilità della divisione deve arrestarsi — appena si abbia 

 un r un po' grande — per un s piccolo rispetto a N r . 



Abbiamo spiegato il precedimento che vale a determinare i punti mul- 

 tipli a) della superficie <p , vicini ad , riferendoci al caso in cui il sistema 

 lineare 



x 1 d(p ì -j- x z e -j- A 3 e (p s -{- x 4 (fi = o 



possegga una curva fondamentale irreducibile 6. Ora è chiaro che le cose 

 dette si estendono al caso di 6 riducibile: si avrà ancora da ricercare la 

 divisibilità delle nostre 



(D r — (A, (p t -f- A 2 d (fi -f- A 3 <p 3 -f- X 4 q 4 ) 



per polinomi che saranno da scegliere fra i divisori di ft. Soltanto potrà ora 

 occorrere di considerare diverse serie di divisioni, corrispondentemente al 

 caso che si trovino — a partire da sulla superficie g> — diverse succes- 

 sioni di punti multipli infinitamente vicini. 



4. Oltre ai punti multipli a) della superficie (p, appartenenti all'in- 

 torno del punto e rispondenti a curve (fondamentali) del piano (uv) , si 

 hanno ancora da ricercare i punti multipli b) che rispondono a punti o 

 gruppi di punti del detto piano. Meglio che una discussione minuta, vale 

 qui l'esame di alcuni esempì notevoli, i quali avranno anche una certa im- 

 portanza generale, come avviamento al problema della classificazione dei 

 punti doppi uniplanari delle superficie; 



Nel seguito supporremo in generale che il punto singolare della su- 

 perfìcie y> corrisponda ad una curva fondamentale irreducibile del sistema \g>\ 

 nel piano rappresentativo {uv)\ codesta curva verrà designata, come innanzi, 

 con h. 



Avremo : 



1) Una prima classe di punti doppi, corrisponde all'ipotesi che dopo 

 avere staccato la da <p , 6 non sia più fondamentale per il sistema re- 

 siduo |9>'|. In questo caso la 6 sarà ima'' curva iperellettica intersecata se- 

 condo coppie variabili della g' t dalle curve di \g>'\ (solo nel caso che sia 

 di genere zero si possono avere, su 6, le coppie di una g\: allora è un 

 punto conico ordinario per la superficie <p). Designando con n il genere 

 della (n > 0), avremo su una sezione piana generica per un tacnodo 

 di specie 7t t imperocché lo staccamento di 6 dalle curve di \g>\ abbassa il 



