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genere precisamente di n j- 1 , secondo la nota formula che dà il genere 

 delle curve spezzate. 



Ai punti doppi della nominata g' 2 su rispondono direzioni per che 

 dànno sezioni piane cuspidate, e quindi 2n -f- 2 punti doppi successivi alla 

 curva doppia infinitesima circondante 0. 



Rientrano come casi particolari nella nostra prima classe di punti doppi, 

 alcuni casi in cui la 6 si spessa, segnatamente il caso in cui essa si riduca 

 ad una curva razionale doppia. 



Il punto cuspidale ordinario, 0, di una superficie y> del terz'ordine, 

 corrisponde a un sistema di cubiche piane passanti per tre punti in linea 

 retta con tangenti fisse: a codesti punti base rispondono i tre punti doppi 

 vicini ad 0. 



Un punto doppio con sezioni cuspidate di 2 a specie si presenta sulla 

 superficie del 4° ordine (g>) come caso particolare del tacnodo, e si costruisce 

 come segue. 



Si assuma anzitutto una quartica 6 = C 4 con due punti doppi A, e A 4 , 

 e si rissino su di essa 6 punti 1^ B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 : le curve di 8° ordine 

 passanti per A} A| B* B 2 B 3 B' B? B^ , segano su C 4 le quaterne di una g\\ 

 fissando una quaterna di punti base semplici P 2 P 3 P< , otterremo un si- 

 stema lineare oo 3 di curve g>|, di genere 'à e grado 4, avente la curva fon- 

 damentale ti. staccando la quale si trova una rete residua composta delle 

 quartiche per A? Al B, B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 . (Si avverta che il sistema |<jp| si 

 deduce — con una trasformazione quadratica — da un sistema di sestiche 

 con 7 punti base doppi e 4 semplici sopra una cubica fondamentale). Ora, 

 si faccia degenerare la 6 in una conica contata due volte, # = C 2 , e assu- 

 miamo su questa: i punti k x A 2 , che saranno base quadrupli per le curve g> 

 d'ordine 8; i punti B, B 2 B s , in cui le y> dovranno avere dei tacnodi con 

 tangenti fisse; e, finalmente, i punti base semplici P! e P 2 , ove le y> dovranno 

 avere tangenti fisse. Il sistema | y> \ rappresenterà una superficie del 4° or- 

 dine con un punto singolare 0, tale che le sezioni piane per esso saranno 

 cuspidi di 2* specie; si avranno per tre direzioni singolari corrispondenti 

 a Bi B 2 B 3 , secondo le quali si trovano tre punti doppi della superficie in- 

 finitamente vicini alla retta doppia infinitesima che circonda 0. 



2) Una seconda classe dì punti doppi uniplanari, si ottiene nel caso 

 che la 6 possa staccarsi due volte dal sistema |<jp| (e dai suoi multipli). 

 Allora non è più vero in generale che il genere di 6 uguagli la specie delle 

 sezioni (tacnodali) della superficie <p. 



L'esempio più semplice di punti doppi della seconda classe si ottiene 

 come segue. Si considerino le cubiche di un fascio passanti per 8 punti dati 

 Ai A 2 ... A g e le oo" curve di 9° ordine che ne costituiscono il sistema triplo, 

 passando per A\ A 2 ... A|. A codeste curve di 9° ordine s'imponga di avere 

 un punto doppio P sopra una cubica 6 del fascio (A, ,.. A 8 ); si avrà così 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 2° Sem. 6 



