un sistema lineare co 3 di curve <p , avente — di conseguenza — un altro 

 punto base semplice P' sopra 6: il genere del sistema |<jpj così costruito 

 sarà 3 il suo grado varrà 4: staccando la curva fondamentale 6 si avrà un 

 sistema residuo di sestiche (passanti per P e quindi per un altro punto 

 fisso di 0) di genere 2 e di grado 2. Pertanto il nostro sistema i y> | rap- 

 presenta un punto doppio di una superfìcie del 4° ordine ; singolarità note- 

 vole che abbassa soltanto di uno il genere delle sezioni piane, ma pure ab- 

 bassa il genere della superficie, riduceudola razionale (Nòther). 



L esempio anzidetto si può generalizzare come segue. 



Si consideri una quartica di genere due, dotata di un punto doppio M, 

 o sopra si assumano 10 punti semplici, affatto generici, Ai A 2 ... A ld . Le 

 curve d'ordine 12 passanti per M 6 A? A? ... A? formano un sistema lineare di 

 dimensione 'J; s' imponga ad esse di possedere due punti doppi P] e P 2 , as- 

 segnati in posizione generica sopra 0, si otterrà cosi un sistema \ <p\ di di- 

 mensione 3, avente — di conseguenza — due punti base semplici Qi e Q 2 

 sopra : il genere di | <p | vale 8, il suo grado pure 8. Ora, staccando la 

 curva fondamentale da \y>\ (che possiede i punti base M 6 A? ... Aio 

 P' Qi Q?) s i ottiene un sistema residuo \g>'\ di curve di 8° ordine, per 

 M 4 Ai ... A? Pj P 2 , contenente — di conseguenza — altri due punti base 

 semplici Ri e li, su 0; il genere di | </>' varrà 5 e il suo grado 6. Appare 

 così che la superfìcie <p (d'oidine 8), rappresentata dal sistema pos- 

 siede un punto doppio che abbassa di 3 il genere delle sezioni piane, 

 le quali possiederanno dunque un tacnodo di specie due; la retta doppia 

 infinitesima che circonda (cui succede un'altra retta doppia infinitesima) 

 verrà rappresentata dalla serie delle coppie di punti coniugati appartenenti 

 agli intorni di Ri e R 2 . 



Ora, vicino ad 0, si trova un punto doppio O t rappresentato sul piano 

 dalla medesima curva di genere due; le sezioni piane di </> per i due 

 punti Oi sono date dalle quartiche per M 8 A t ... A 10 , e così appare che 

 anche il punto doppio Oi abbassa di 3 il genere delle sezioni per esso. 



ì) La classe i ma di punti doppi corrisponde all' ipotesi che la curva 

 fondamentale per \<p\ si possa staccare, come fondamentale, dai sistemi 

 successivi. L'esistenza di punti doppi siffatti resulta già provata generaliz- 

 zando il primo degli esempì precedenti, come segue. 



Si considerino le curve d'ordine 3 i -f- 3 passanti per 8 punti k[ +l 

 A.' t +Ì ... A£ +1 , queste curve segano sopra una cubica per Ai ... A 8 una serie 

 lineare e formano un sistema lineare di dimensione 



• i +a +.-+ (<+1 )- t < +^+» . É 



