Se u(x . t) è funzione tale che 



dico che «(.r , t) soddisfa pure alla (1). Infatti, se u soddisfa alla (2), la 



quale è lineare, giacché anche — — da noi definito è lineare, vi soddisfa 



anche — , e quindi 



7) , 7> 1/2 <>tt 



— or - 



Dee Ttf 1 ' 2 Tu- ' 



da cui, tenendo conto della (2) e dell'eguaglianza D m D" = D m+n , si ha 



ti 



È da notare che la reciproca non è vera, perchè u potrebbe soddisfare 

 alla (1) e non alla (2); tale sarebbe, per esempio, il caso in cui u fosse 

 soluzione della 



fav 2« _ _ a nani 



È però facile verificare che combinando linearmente le soluzioni della (2) 

 e della (2)' si ottengono tutti gli integrali della (1). 



Proponiamoci invece il -problema: in una sbarra indefinita, nel senso 

 delle x positive, sotto la condizione che u si annulli per x = -{- oo e 

 che la (1) valga in tutta la sbarra, sia data arbitrariamente la successione 

 u (.x) dei valori di u per a' = e per ogni valore di t a partire da 



t — — co ; si vuol trovare la successione ( — ) dei valori di — pera;=0 



V"2>sc/o 



e per ogni valore di t . Ovvero, dato all'origine, od in un punto qualsiasi, 

 .l'andamento dei valori della temperatura, trovare il gradiente della tempe- 

 ratura medesima, senza risolvere V equazione, senza passare, cioè, per il 

 tramite della formula che dà u(x , t) in tutta la sbarra. Questo problema, 

 d' importanza fìsica e meteorologica ben conosciuta, si presenta anche negli 

 studi del raffreddamento terrestre. 



Le nostre formule, di derivazione frazionaria, couducono alla risoluzione 



in modo quasi immediato. Infatti, in virtù di tali formule. — — si com- 



porta come un moltiplicatore numerico e la soluzione della (1) assume così 

 la forma simbolica 



ufi 



I dt 



■ u = e u (t) . 



