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sava cercare un limite superiore delle differenze surricordate. Ho potuto così 

 stabilire alcune formole, che, opportunamente sviluppate, possono condurre 

 ad una, dirò così, geometria di limitazione delle proprietà metriche di una 

 figura descritta su di una superficie qualunque, per mezzo del confronto di 

 questa con due sfere le cui curvature siano uguali alla massima e alla 

 minima curvatura della superfìcie, nella regione che si considera. Di quelle 

 formole fondamentali io mi limitai a dedurre le conseguenze che interessano 

 la Geodesia, ossia i limiti entro cui sono comprese le grandezze degli an- 

 goli di un triangolo geodetico di cui siano assegnati i lati. In particolare, 

 come cosa d' interesse teorico, dedussi i limiti fra i quali è compreso il così 

 detto angolo di parallelismo sopra una superficie qualsiasi a curvatura ne- 

 gativa (finita). 



Riprendo ora quelle formole per determinare i limiti superiori delle 

 differenze fra le figure sferiche e le superficiali in alcuni dei casi trattati 

 dal prof. Severi. 



2. Riferiti i punti di una superficie qualunque S ad un sistema di 

 coordinate polari geodetiche, aventi per polo un punto P della superficie, 

 il quadrato dell'elemento lineare è espresso da 



ds* = dg 2 + G dà 2 



dove e e S sono il raggio vettore geodetico e l'anomalia. Posto g = j/ G 

 (il radicale preso positivamente) e indicata con K la misura della curvatura 

 della superficie nel punto generico, si ha 



ove l' indice si riferisce al polo P (q = 0). 



Indicando con R una quantità qualunque reale od immaginaria, le tre 

 formole (1) possono compendiarsi nell'unica equazione integrale 



(2) g = R sen ^ + R ^ gj^ — sen dx , 



ove con g x e K x si intendono le espressioni di g e E, nelle quali in luogo 

 della lettera q si ponga la a;. In particolare, posto R = oo , si ha 



(2') g = Q— J ? g x K x {q — x)dx . 



Dalle (2) (2') si deducono le seguenti principali conseguenze, che mi 

 permetto di ricordare: 



