1°. Se la curvatura K non supera il valore positivo K, , la g risulta 

 positiva, a partire dal polo, sopra ogni geodetica uscente da esso, per un 

 arco di lunghezza almeno uguale a ^r/f/E, . Resta così limitata, intorno 

 a P, una calotta superficiale entro la quale due geodetiche uscenti da P 

 non hanno alcun altro punto in comune. Ad una tale regione intenderemo 

 limitate le cose che seguono. 



2°. Se la curvatura K è ovunque positiva, si ha in ogni punto 



9 < Q • 



3°. Se. detta K la curvatura nel punto P, si ha 

 |K— K \<hQ, 



ove h è quantità positiva, si deduce dalla (2) ponendovi R — 1/|/K • 



(3) 



g — sen . g f K e 



1 X 



7^ 

 ^ 12 



Questa relazione dà il limite superiore dell'errore che si commette 

 quando all'espressione di j/G, relativa alla superficie considerata, si sosti- 

 tuisca, per approssimazione, la corrispondente espressione per la sfera la cui 

 curvatura eguaglia la curvatura della superficie in P. [Ad esempio: per 

 l'ellissoide di rotazione schiacciato, chiamando a ed e il raggio dell'equa- 

 tore e la eccentricità, <p la latitudine, a l'azimut della geodetica q, si ha 



dK — 2e* 



dq a 3 (l— e*) s 

 Possiamo quindi assumere 



1 — e % sen 2 </0 5/s sen 2<f cos a . 



h — 2e * 



a 3 (l — e*)* 75. a 3 



ove si attribuisca ad e il valore proprio dell'ellissoide terrestre]. 



3. Indichiamo, per brevità, con S la sfera testé considerata, il cui 

 raggio è l/j/K . Scelto sulla S un punto arbitrario come polo di coordi- 

 nate polari geodetiche, stabiliamo fra i punti della S e quelli della super- 

 ficie S la corrispondenza biunivoca per uguali valori di q e 6 nei punti 

 corrispondenti, e cerchiamo un limite superiore della differenza fra la lun 

 ghezza s di un arco finito della S e quella della linea corrisp. della sfera. 

 d6 



Posto ^ = ^' supponendo per semplicità che lungo l'arco considerato 

 l'anomalia 6 varii sempre in un senso fra i valori 6^ e 2 , avremo sulla S: 



