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Un'altra espressione limite della K può ottenersi considerando l'angolo Sì 

 che la geodetica v, uscente dal punto generico P della curva base C, fa, 

 nel suo punto generico P', colla linea di equidistanza obliqua uscente da P'. 



Avremo 



_ COS 0) 



(10) cosSÌ = — =r. 



V f/G 



E collo sviluppo in serie di Taylor, posto PP' = Su 



Deducendo dalla (10) le espressioni delle derivate di Sì e ricordando 

 le (6) e (9), si trova senza difficoltà 



4(o> — Sì) 



lim 



PP' 2 . sen 2a 



7. Ritorniamo al caso di figure di dimensioni finite. La equazione dif- 

 ferenziale (8) e le prime due equazioni (9) possono compendiarsi nell' unica 

 equazione integrale 



(11) ]/j = sen co cos + R £ }fj m — sen - ~ X dx , 



ove R è quantità affatto arbitraria, In particolare 



(1 1') ]/J = sen oo — f (u — ss) dx . 



Qui, come nel § 2, con K x e ^ si intendono le espressioni di K e J ove 

 alla lettera u si sostituisca la lettera x. 



Se Kj è limite superiore della curvatura K, ponendo nella (11) 

 R = Ki , si trova che yJ non può annullarsi per valori di u inferiori 

 a 3t/2|/Ki. Il che è quanto dire che: sopra ciascuna delle considerate 

 geodetiche (u) uscenti dai punti della C , l'arco compreso fra la_G e l'in- 

 viluppo delle geodetiche stesse è per lo meno uguale a 7r/2|/K,. 



Dalla (16') si deduce poi che, se la curvatura della superficie è dapper- 

 tutto positiva, nella regione ora considerata nella quale f J non si annulla, 

 si ha 



|/^7<senft) i 1 ). 



(') Più generalmente se K assume valori negativi colla limitazione K> — , si 



K 



ha facilmente dalla (11): 



]f~A <-g- sena>(e"' R -f-e -u/R ). 



a 



