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Poniamo ora nella (11) R = l/j/K dove K è la curvatura della su- 

 perficie in un punto P della curva C , e supponiamo che, a distanza geode- 

 tica u da P , il valore della curvatura K soddisfaccia alla diseguaglianza 



I K — K. |< hu , 



ove h è quantità finita positiva. Allora dalla (11) si deduce senza difficoltà 

 (12) f|A/ — senw cosm |/K 1 <C^- sen » . 



È facile dedurre di qui un limite superiore della differenza fra y'G 



e l'espressione corrispondente yl — sen 2 &> sen 2 w j/Ko P er l a s f era ia cui cur- 

 vatura è uguale a K . 



Infatti dalle due uguaglianze 



\ a — b = \/ a — b -f- s 

 ove a , a . b , e , t) sono quantità reali qualunque, si deduce tosto 



r* + 2tj j/a = e* + 2e ya — è , 



e quindi 



£ * + 2 j £ lj/a -fr 



(13) 



Ricordando che ./ = G — cos 2 », si deduce così dalla (12) 



f 2 -j- 2 s sen &> cos uyK 



t/Gr — |/l — sen 2 co sen 2 w )/ K 



< 



2j/l — sen 2 « sen 2 wj/K 



ove 



(14) 6 — —— sen w . 



Se ora si considerano sulla linea di equidistanza u due punti M , N 

 di coordinate (u,v t ) (u , v 2 ) si avrà sulla superficie S 



arco MN = f \' Wdv . 



Jv, 



E sulla sfera l'arco corrispondente M N, sarà espresso da 



arco M, Ni = 1/ 1 — sen 2 co sen 2 w fK (y ? — «,) . 



La differenza fra i due archi è quindi 



. s- + 2 * sen w cos w I K , , 

 21/ 1 — sen 2 « sen 2 w ] K 

 ove t è data dalla (14). 



