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serie l'espressione 



roo 

 e~« u irì (a ,x)du. 



- u 



ove 



U r _ 1 (^) = 0, se r<0 e U r -i(x) — u (x) -j-u^x) -\ \-v r ^(x), se r>0. 



Che se poi la detta convergenza della serie (2) per ogni a> e del- 

 l'integrale (3) è uniforme nell'intervallo (a , b) , diremo che la serie (1) è 

 sommabile (B , r) uniformemente nell' intervallo. 



3. Il concetto di sommabilità (B , r) è una estensione del concetto di 

 convergenza ('). Ora vogliamo dimostrare che la sommabilità (B , r) uniforme 

 è una estensione del noto concetto di convergenza uniforme, almeno per la 

 serie di funzioni limitate. Precisamente: 



Teorema. — Ogni serie (1) di funzioni limitate in un intervallo 

 {a , b) che in esso sia uniformemente convergente con somma u(x) è anche 

 sommabile (B , r) uniformemente in (a , b) e con ugual somma (qualunque 

 sia r). 



Per ipotesi, \J n (x), definita dalle (5), tende ad u(x) uniformemente 

 in (a , b) ; ciò vuol dire che : dato un numero e > . esiste un numero in- 

 tero m indipendente da x (e che supporremo maggiore del valore assoluto 

 di r — 1), tale che risulti 



(6) | U„ +r _i (x) — u(x) | <— per n •> m e a <. x <. b . 

 Ne segue che, essendo 



una trascendente intera, tale sarà pure la serie 



(8) ZDJ^i (»)-«(*)] 



la quale sarà, inoltre, uniformemente convergente in (a , b) per ogni a > 0. 

 E delle stesse proprietà godrà la serie 



(9) U (r - 1) («,a;)=Ju„ +r _ 1 (»)^. 



n=0 « • 



(') Poiché ogni serie convergente é sommabile (B , r) e con ugual somma (M, n. 10; 

 N. n. 2). 



