Ne segue che la somma della serie (8) sarà U (r_1) (a,cc) — e a u(x) e 

 che quindi si avrà 



g-cL u<r-n ( a ,x) — u(x) = <r* Y [U* +r -i — u{x)~] — ; 



n—fì W • 



da cui 

 (10) 



e~« W r - lì (x) — u(x) 



oc 



+ e~« y 



,n-i 



le- a ^_ U„ +r _, (x) — u(x) 



a" 



a" 

 n ! 



ove m è il numero poc'anzi definito. 



Poiché, per ipotesi, i termini u n (x) della serie (1) sono funzioni limi- 

 tate in (a , b) , tale sarà pure la funzione U„+ r _i(a?) (5) ; inoltre, per la (6), 

 anche la funzione u(x) — Un+r^x) è limitata per r>_m; dunque sarà 

 pure limitata la funzione u(x). Quindi, infine, saranno limitate le funzioni 



U„+ r _i(^) — u(x) (»=0,l f ... ,m — 1); 



sicché esisterà una costante positiva K maggiore dei moduli di queste fun- 

 zioni in (a , b). 



Per ciò e pel fatto che, dalla (6), si ha 



I 



U„ +r -i(^) U{x) 



a n ^ s a n . e 



la (10) dà 

 (11) 



e-« W- 1 > (x) — u(x) <. Ker* Y —, + 



Intanto, per il teorema di l' Hospital, 



lim e~ a 2_ — - = , 



quindi esiste una costante li > , tale che risulti 



m-l a n £ 



In conseguenza, la (11) dà 



\e- a U lr - 1) (a ,x) — w(.x) | O per a >> h e a^Lx^b 



Ciò dimostra che 

 (12) lim e~ a \] lr ~ l) (a , ce) = u(x) uniformemente in (a , b) . 



Ora osserviamo che la serie di funzioni di x (2) è uniformemente con- 

 vergente in {a , b) per a>.0, poiché può dedursi dalla (1), che è ivi uni- 



