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formemente convergente per ipotesi, moltiplicandone i termini per i fattori 



. . . u n , . 

 positivi — : che, a partire da un certo n, sono minori di 1. 



n ! 



Ricordiamo, inoltre, la relazione identica (M, n. 6) facile a verificare 

 [<r a U cr - n (a , se)] er* u ir) (« , j?) . 

 Integrandola tra i limiti ed « ed osservando che, per la (9), è 



U (r-i)(0, a? ) ==Ur _ l (;r), 



si trae che 



(13) e~ a W r -°(cc , ce) = U r _, (a) + fV a « (r) (« , ») da. 



Per la (12), il secondo membro tende, come il primo, uniformemente 

 ad u(x) per a — oo , perciò l'integrale (3) è nniformemente convergente 

 in (a , b) e sussiste la (4). Dunque la (1) è sommabile (B , r) uniforme- 

 mente in (a , b) e con somma u(x). 



3. Tutti i teoremi noti sulle serie uniformemente convergenti si lasciano 

 estendere alle serie sommabili (B , r) uniformemente. 



I. Se una serie di funzioni (1) è sommabile uniformemente in un 

 intervallo (a , b) e se in un punto x = c dell' intervallo i suoi termini 

 sono funzioni continue, ivi anche la somma u(x) della serie è funzione 

 continua. 



Giusta l'ipotesi, la serie (2) è costituita da funzioni continue per 

 x = c ed è uniformemente convergente in (a , b) per ogni a>0, quindi 

 anche la sua somma u ir) (or , x) è funzione continua per x = c e per ogni 

 «>0. 



Da ciò e dalla uniforme convergenza dell'integrale (3) in {a , b) (che 

 pure discende dall'ipotesi) segue che anche detto integrale è funzione con- 

 tinua per x = c. E poiché tale è pure D r _! (x) (5), ne risulta, per la (4), 

 che anche la somma della serie è funzione continua per x — c. 



II. Se una serie dì funzioni integrabili è sommabile (B , r) uni- 

 formemente in un intervallo {a , b) con somma u(x) , la serie formata 

 dagli integrali dei suoi termini fra i limiti d e c 2 (a < <?, < c 2 < b) è 

 sommabile (B , r) ed ha per somma l'analogo integrale di u(x) . In tal 

 senso si può scrivere : 



y_ u n (x) dx = /[_ u„(x) dx . 



•^v, n= n ; i= (W<-'l 



Per ipotesi, la serie (2) è uniformemente convergente in (a , b) per 

 ogni a > 0, quindi è integrabile termine a termine, dando luogo ad una 

 serie convergente per ogni a > . Posto 



e <'a c r n 



J u (r) (a , x) da' = j (a) , J u n (x) dx = j n 



