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si ha quindi la serie 



n=0 "■ • 



che è la serie associata di ordine r alla serie (numerica) ^_j n - 



Segue inoltre dall' ipotesi che l' integrale (3) è uniformemente conver- 

 gente in (a , b) , quindi è lecito scrivere 



(14) f c C ' dx ) e ~* uCn ( a > a ') da = 



-■30 n c foo 



= ) e~« daj u ir) (« , x) dx — J e~*j lr) (a) da 



e l'ultimo integrale è convergente. 

 Infine, per la (5), 



(15) f' 2 U r _ 1 (^)^ = Jr-i 

 ove 



J r _, == o se r < e J r _, = j -f ji H h >-i se r > . 



Dalle (14) e (15) segue che esiste l'integrale del secondo membro 

 della (4) e quindi anche quello j del primo e che si ha 



j = J,_,+ e~* f> (a) da, 



il che prova che la serie Y /„ è sommabile (B , r) con somma j . 



III. Se una serie (1) di funzioni derivabili è sommabile (B , r) 

 in un intervallo (a , b) e se ivi è sommabile (B , r) uniformemente la 

 serie formata dalle derivate dei suoi termini, la somma di questa serie 

 è la derivata della somma della prima. In tal senso si fuò scrivere: 



-f- z_ u n (x) -— 2_ y • 



Si dimostra, come l'analogo teorema sulle serie di funzioni sommate 

 col metodo ordinario, applicando il teorema II alle serie delle derivate. 



