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 è un differenziale esatto, onde ponendo 



(9) 4> = i* fX H ^~ H V x ^, 



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avremo dalle (8) 



Sì = Cfi -f- <z4> , 



con o costante arbitraria. Le forinole (7) dànno quindi 



^ j lì = c(i Yi + a {4>yì + /i) 



( g> = c fi (f -f- a (<i>g> -\- <f) , 



e viceversa con questi valori per le y< , g<, qualunque siano le costanti a , e , 

 si 'soddisfano le equazioni (b'), onde resta definita, come si voleva, una 

 serie oo 1 di sistemi (2)> tutti trasformati di Ribaucour del sistema (2')- 



Il parametro che definisce il sistema (2) nella serie oo 1 è il rapporto - , 



e in particolare pel valore zero di questo parametro il sistema (2) viene 

 a coincidere, a causa delle forinole inverse (5), col sistema iniziale (2)i 11 

 quale è legato non soltanto a (2')' ma ancne a (2") ^ a ima trasformazione 

 di Ribaucour. 



Ora andiamo a dimostrare il teorema di permutabilità provando che 

 lo stesso accade di qualunque altro sistema (2) nella nostra serie oo 1 . Per 

 questo prendiamo le forinole che dànno, secondo le (3), in termini finiti il 

 sistema (2) i cui elementi indichiamo con un soprasegno; avremo 



/ x = x ' — • y y x x x 



\ x 



Sarà provato che questo sistema generico (2) è legato (oltre che a (20) 

 a (2") da una trasformazione di Ribaucour se, paragonando le (11) colle 

 (6) che definiscono (2")' dimostriamo che per gli n assi coordinati O^O,,,... 

 sussistono formole del tipo 



(12) x — aj" = R { (X;' — X0 , y — y" = Ri(T'/ - T<) , ... 



(* = 1 , 2 , ... , «) , 



dove R, , R 2 , ... , R„ sono n convenienti moltiplicatori, il cui significato geo- 

 metrico sarà poi quello dei raggi delle n ipersfere che toccano in punti 

 corrispondenti le ipersuperficie dei due sistemi (2) > (2") • 



