Prendiamo allora i due sistemi (2') » (2") P r i ma derivati da (2) e 

 consideriamo (con evidente notazione) il fascio <?i(2') 4" £2 (2") <*a ess * 

 determinato, cioè la serie co 1 di sistemi trasformati di (2) mediante le 

 funzioni trasformatrici 



CiYì-\-c 2 y'ì > Citp + c 2 <p' , 



essendo £1 , <? ? due costanti arbitrarie, e il loro rapporto — il parametro 



essenziale nel fascio. 



Dette J , t\ , f , ... le coordinate del punto , u 2 , ... , w„) mobile nel 

 sistema generico del fascio, avremo per le (3) le formolo 



(15) % = x — 2 —^ — - — ^ ~x ^ r 1 TX È ' 



j j j 



X X 



È evidente che il fascio £i(2) ~h M2") res ^a lo stesso sostituendo 

 a (2) i (2") ^ ue qualunque altri sistemi del fascio, e così in particolare 

 se, tenendo fisso (2')i sostituiamo a (2") im altro sistema del fascio. Ma 

 si è visto sopra che un qualunque sistema (2) dell'altro fascio è legato 

 a (2' ) da una trasformazione di Ribaucour, e lo stesso vale quindi facendo 

 variare (2") ne l fascio. I due fasci sono manifestamente in relazione reci- 

 proca, onde nel teorema di permutabilità così completato: si hanno due 

 fasci di sistemi n pV ortogonali tali che due sistemi presi ad arbitrio 

 Vuno nel primo l'altro nel secondo fascio sono fra loro legati da una 

 trasformazione di Ribaucour 



È anche interessante osservare che: il luogo dei punti corrispondenti 

 nei sistemi di uno stesso fascio è un circolo. Questo risulta dalle formole 

 (15), ove, restando fisse u x ,u t , ... , u n , i secondi membri sono funzioni 



razionali quadratiche del parametro — , ed il punto (£ , rj , £ , ...) descrive 



Ci 



un circolo. 



6. Il teorema generale di permutabilità, così completato, ammette nu- 

 merose applicazioni a casi particolari : per n = 2 alle trasformazioni di Ri- 

 baucour delle superficie, per n = 3 a quelle dei sistemi tripli ortogonali, ecc. 



Ma vi ha un'altra circostanza molto notevole, che qui accenniamo sol- 

 tanto riserbandone lo sviluppo a più ampio lavoro, e che si presenta per 

 interessanti classi di enti geometrici, fra i quali citeremo: per le superficie 



( l ) Per il caso delle congruenze W queste conseguenze del teorema di permuta- 

 bilità vennero sviluppate dal Tortorici nella sua tesi di laurea pubblicata nei Rendiconti 

 del Circolo matematico di Palermo. 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 2" Sem. 



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