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e sviluppando, »u A«u -f u A Mi = da cui, indicando con a un vettore 

 arbitrario, però non complanare con u ed au, si ricava 



Mi A u X a 



(6) (a = — : — — . 



n A an X a 



Nel caso in cui l'asse OM, dei moti interni coincida con un asse per- 

 manente di rotazione, si ha M,- A u = e quindi, per la (6), anche w == 0. 



2. Relazione fra gli assi permanenti di rotazione ed i ponti 

 multipli della polodia — È bene premettere che la polodia, essendo 

 l'intersezione di due quadriche ( 1 ), è una quartica gobba di l a specie e non 

 può quindi avere, a meno che si spezzi, che un solo punto multiplo neces- 

 sariamente doppio, poiché, se ne avesse due, allora, come è ben noto e si 

 vede subito, la quartica si spezzerebbe in due coniche passanti naturalmente 

 per questi punti doppi. Ciò premesso, osservo che un punto doppio della 

 polodia si ha evidentemente quando risultano tangenti fra loro le due qua- 

 driche la cui intersezione forma la polodia stessa, cioè i due ellissoidi 

 (v. loc. cit.) ad assi paralleli 



( 7 ) (P_0)X«(P-0)=1 (8) (P-0 1 )X««(P-0 1 ) = |, 

 dove 



e la tangenza ha luogo quando le normali in P a queste due quadriche 

 coincidono. Ora le normali in P agli ellissoidi (7) e (8) hanno rispettiva- 

 mente le direzioni dei vettori a(P — 0) e a ? (P — 0,), perciò, applicando 

 l'omografìa , dovranno essere paralleli fra loro i vettori P — ed 

 a(P — 0,). Ma, per la (9), a(P — 0,) = a(P — 0) Mi/V^h ; quindi, 

 tenendo anche presente che 



(10) Sì = ]/%h (P — 0) (v. loc. cit.), 



si può dire che dovranno essere paralleli fra loro i vettori Sì ed aSÌ -j~ M< , 

 che cioè deve essere Sì A {aSÌ -f- M<) = 0. 



Questa condizione coincide con la (4) che caratterizza le rotazioni per- 

 manenti, quindi si ha che « la congiungente del baricentro del sistema 

 con un punto doppio della polodia è un asse permanente di rotazione ». 



È importante osservare che ha luogo la proprietà inversa. Infatti, se 

 la detta condizione sussiste, i vettori Sì ed aSÌ -j- M,- sono paralleli, perciò 

 lo sono pure i vettori P — ed a(P — Oi) e quindi anche i vettori 



(') Ved. loc. cit. 



