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a(P — 0) ed a*(P — 0,). onde gli ellissoidi (7) e (8) sono tangenti in P 

 e quindi P è un punto doppio della polodia. 



Siccome poi, come si è visto nel n. 1, l'asse permanente deve coinci- 

 dere colla retta OK , si può dire che « i punti doppi della polodia cadono 

 nei due punti intersezione dell'ellissoide d'inerzia con la retta fissa OK ». 

 Se la polodia non si spezza, allora, come si è già osservato, uno solo di 

 questi punti è doppio ed è il punto di contatto degli ellissoidi (7) ed (8). 

 È inoltre interessante rilevare che l'equazione (1'), che caratterizza il moto, 

 è anche soddisfatta sostituendo contemporaneamente ad S2(t) il vettore 

 — SÌ(T-\-t) ed al vettore M, il suo opposto — Mj. Ciò significa che « i 

 « moti interni del sistema sono invertibili, purché si inverta l'asse dei 

 moti interni ». 



Supponendo che la polodia abhia un punto doppio P , se dopo il tempo 

 T da che è incominciato il moto il polo giungesse in P , allora, invertendo 

 il moto, il polo dovrebbe tornare al punto di partenza dopo il tempo T ; 

 ma, essendo P un punto doppio, l'asse e la velocità corrispondenti sono 

 permanenti, quindi il polo non potrebbe più muoversi da P . Si ha dunque 

 che « se la polodia ha un punto doppio, il polo di rotazione si avvici- 

 nerà ad esso indefinitamente senza raggiungerlo mai » . Da quanto si è 

 detto nella Nota precedente (loc. cit ) si può anche dedurre che « se la 

 polodia ha un punto doppio, il polo di rotazione sì avvicinerà ad esso 

 con velocità che tende a zero » . 



Si ha dunque una differenza essenziale tra i moti che hanno luogo 

 quando la polodia ha punti doppi e quando non ne ha: « nei primi il polo 

 di rotazione non tornerà al punto di partenza ma tenderà asintoticamente 

 verso il punto doppio ; nei secondi, invece, il polo tornerà al punto di 

 partenza ». 



3. Assi permanenti e polodia in alcuni casi particolari. — Sup- 

 ponendo M,==0 (caso di Eulero) la (4) porge subito la relazione Sì /\aSì — 

 la quale mostra che Sì deve essere direzione unita per la dilatazione a e 

 viceversa. Quindi si ha che * l'asse OSì è asse permanente di rotazione 

 quando e solo quando coincide con uno degli assi principali d'inerzia ». 



Suppongo ora che Y ellissoide d'inerzia si riduca ad una sfera, allora 

 l'omografia a si riduce ad una omotetia vettoriale, cioè ad un numero A 

 che deve essere positivo e le (7), (8) e (9) diventano rispettivamente: 



(7') (P-0><= ] ; (?) ,P -<.,)•- j£L, OT o, = o- JL=. 



Poiché le (7') e (8') sono sfere e la congiungente dei loro centri coin- 

 cide coll'aese OM; . come si vede dalla (9'), si trae che « la polodia è, in 

 tal caso, una circonferenza il cui centro giace sull'asse dei moti interni 

 ed il cui piano è normale a questo asse, onde si ha che il cono mobile 



