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2. Per motivi di opportunità e di generalità, supporremo la formazione 

 A,- come risultante dal prodotto di hi punti rappresentati coi simboli , 



i m . ... , , si tratta di esprimere X. = | j ?' cft i> f h >> ... 'pW come esistente 



in (partecipante di) qualcuna delle A t , A 2 ,... ,A, per es. A r , con 



operazioni eseguite sui punti i (j) (j = 1 , 2 hi ; « = 1,2, ... , s). 



Poiché ha luogo la (1), le differenze h{-\- hj — (n -f- 1) sono tutte po- 

 sitive o nulle, e tutte non inferiori al numero q ; e d'altra parte quando si 

 sia posto hi — n -f- 1 — ^ per tutti i valori di i da 1 ad s . si potrà sempre 

 portare k r ad essere 1' ultima dei fattori del prodotto da formare, poiché 

 ciò equivarrà a moltiplicare X p per ( — 1)^ con 



(3) t r = (h' r+1 + k+2 H h&j # = # 1 7?; . 



r-t-i 



3. Ciò posto, d' una maniera generica si dicano 



(4) /) lì ... lg. , lg. + i lg. + ì ... l h . 



due permutazioni complementari dei numeri 1 , 2 , ... , hi , i cui elementi si 

 trovino ordinati come nella permutazione principale, di classi rispettivamente 

 gi , hi — Qi , e tali che, posto convenzionalmente <7i = 0, sia per tutti i va- 

 lori di i da 1 ad s, 



h — gì -f- g i+ì = n -f- 1 , 



ovvero 



(5) é'i+i = » + 1 — Ai + r/i = 7?' + gi : 



si avranno, per ogni valore di i , q^ = ( coppie di tali permutazioni ; 



sicché, indicando con ty^ il numero delle inversioni che gli elementi della 

 lih.-Ag. fanno con quelli della l g . +ì l g .+z...l h ., cioè il numero 



(6) ??«-i = + ~M h^ — T^(^-l) 



si hanno nella 



(/■) fia) (/ 9r( ->) (/ J4 +.) (4 4 1 



(7) Af = ( — T) i i ... i ■ i ■ i ... i 



espressioni diverse della formazione Aj , anche per i = 1 se, insieme 

 alla convenzione g l = Q, si ritiene l'altra >; ft = (ciò che porta per q il 

 valore 1). 



(') Qualche cosa, come si vede, di analogo al noto principio di trasporto, del quale 

 il prof. Del Re già fece diverse applicazioni [cfr. ad es. i suoi lavori: Sopra alcune 

 formule fonda menta li nell'analisi spaz. ad n dimensioni di Grassmann (Rend. Acc. Na- 

 poli, 1911); Formule per trasfor mitre con omografìe estensive formazioni d'ordine qua- 

 lunque (ibid., 1916)1. 



