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Ili essi gioca in modo essenziale la nozione di rango di una matrice 

 riemanniana che qui per la prima volta viene definita e. utilizzata ; e che 

 è dedotta appunto — il nome stesso lo dice — da una nozione fondamen- 

 tale e ben nota delle algebre a più unità. 



Sorge così un nuovo carattere (intero) delle matrici riemanniane. inva- 

 riante di fronte alla relazione di (equivalenza o, più in generale, di) iso- 

 morfismo, che sembra non meno notevole di quelli già introdotti nei miei 

 lavori precedenti. 



1. Sia co una matrice riemanniana di genere p, con gli indici di sin- 

 golarità e moltiplicabilità k e li , e sia [co] Y insieme di tutte le matrici 

 quadrate d'ordine 2p , a elementi razionali, rispondenti alle omografie rie- 

 manniane di co. 



Poiché queste omografie stanno tutte in un sistema lineare oo h e for- 

 mano, un gruppo, segue subito che: 



L'insieme [co] può considerarsi come un'algebra ad h -j- 1 Unità 

 nel corpo dei numeri razionali. Essa è dotata di modulo, e questo è for- 

 nito dalla matrice identica d'ordine 2p . 



2. Come è noto, un'algebra si dice primitiva se un prodotto di suoi 

 elementi è nullo quando e solo quando è nullo uno (almeno) dei suoi fattori. 



Un elemento di un'algebra si dice pseudo-nullo se non è nullo, ma è 

 nulla qualche sua potenza; e un'algebra si dice pseudo-nulla, se ogni suo 

 elemento non nullo è pseudo-nullo. 



Una sotto-algebra B di un'algebra À si dice invariante (in A) se con- 

 tiene i prodotti di ogni suo elemento per un elemento qualunque di A, qual- 

 siasi l'ordine in cui tal prodotto viene effettuato. 



Un'algebra si dice semi-semplice se non contiene sotto-algebre inva- 

 rianti pseudo-nulle; semplice se non contiene alcuna sotto-algebra invariante. 



Un'algebra C è la somma diretta di due altre algebre A e B, se ogni 

 elemento di C è la somma di un elemento di A con un elemento di B, e 

 il prodotto di due elementi qualsiansi, scelti l'uno in A e l'altro in B. è 

 nullo qualunque sia l'ordine in cui viene effettuato. 



Quando un'algebra può esser considerata come la somma diretta di due 

 altre, essa si dice anche riducibile. 



3. Ciò posto, le proprietà fondamentali dell'algebra [co] connessa con 

 la matrice co sono fornite dai seguenti teoremi : 



L'algebra [co] è semi-semplice qualunque sia la matrice co ; è sem- 

 plice se (e soltanto se) la matinee co non ammette assi isolati: è primi- 

 tiva se {e soltanto se) la matrice w è pura. 

 Inoltre : 



L'algebra [co] è riducibile quando e solo quando co ammette assi 

 isolati; e possiede elementi pseudo-nulli quando e solo quando co è impura 

 e possiede infiniti assi distinti. 



