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4. Sia A no elemento non nullo di [co] ed A* la corrispondente omo- 

 grana riemanniana di co ; sia infine 1 il modulo di [co], cioè la matrice 

 identica d'ordine 2p . 



Diremo rango, tanto di A quanto di A*, il minimo intero positivo m 

 per cui accade che gli elementi 



I , A , A 2 , ... , k m ~ l , A m 



di [co] siano (linearmente dipendenti secondo numeri razionali, e quindi 

 senz'altro, trattandosi di matrici ad elementi razionali) linearmente dipendenti. 



Al variare di A entro [co] l'intero m non resta in generale costante; 

 ma esso ammette in ogni caso un massimo finito t>, il così detto rango 

 di [co] , che verrà detto il rango della matrice co . 



Codesto carattere di co , invariante di fronte alle relazioni di equiva- 

 lenza e di isomorfismo, è soggetto evidentemente alle seguenti diseguaglianze: 



t> > 1 , q < h -f- 1 , Q <2p ; 



ed: 



È q = 1 quando e solo quando è li — (e quindi anche k = 0). 

 A titolo di esemplificazione giova osservare che: 



Una matrice riemanniana ellittica è del rango 1 o 2 secondo che 

 per essa l'indice di moltiplicabilità è o 1 ; 

 che : 



Una matrice riemanniana del genere 2 è del rango 1, 2, 3 o 4 

 secondo che (adoperando una classificazione adottata nella mia Memoria 

 inserita nel voi. 41 dei Rendiconti di Palermo) essa è 



a) del tipo I) ; oppure 



fi) del tipo II), TU), VII) e Vili); oppure 



y) del tipo IV) ; oppure, infine, 



d) del tipo V), VI) o IX) ; 

 e che: 



Una matrice riemanniana impura del genere p priva di assi iso- 

 lati i cui assi puri siano tutti ellittici è del rango p o 2p secondo che 

 non è od è ad indici massimi. 



5. In alcuni degli esempi precedenti, che potrebbero essere facilmente 

 moltiplicati, si hanno altrettante conferme delle seguenti proposizioui fonda- 

 mentali : 



Se? la mairice co è composta con due o più altre matrici riemaa- 

 niane, il rango di & è la somma dei ranghi di queste ; 

 e : 



Se la matrice w è priva di assi isolati, il suo rango q è un di- 

 visore comune di h -f- 1 e 2p . 



