— 181 — 



Una matrice riemanmana non singolare o è del rango 1 o è del 

 rango 2. 



In base a questa proposizione, poiché le matrici di rango 1 sono quelle 

 a indici nulli, la classificazione delle matrici di Kiemann non singolari 

 rientra, sostanzialmente, in quella delle matrici di Riemann a rango 2. 



Ebbene, quest'ultima è fornita dal seguente notevole teorema: 



Le matrici riemànniane di rango 2 sono tutte e sole le matrici 

 di Riemann per cui gli indici di singolarità e moltiplicabilità k e h 

 sono dati da: 



I) k = e h—1; 



II) k = o e h = 3; 



III) k= 1 e h = 1 ; o infine da 



IV) k — 2 e 



h 



Quelle per cui valgono le alternative I) e II) sono certo pure e 

 col genere diverso da 2 ; quelle per cui valgono le alternative III) e IV) 

 possono essere pure od impure e quindi le matrici in discorso si distri- 

 buiscono in sei tipi distinti. 



Infine il caso IV) non può verificarsi che per matrici di genere 

 pari, e il caso II) non può verificarsi che per matrici di genere pari e 

 maggiore di 2. 



A complemento di questo teorema giova osservare che: 



Se una matrice di Riemann del rango 2 ha per genere p , gli 

 spasi fondamentali delle sue omografie riemànniane (non nulle e non 

 identiche) sono due S p _j fissi, imagmari coniugati o reali secondo che 

 essa presenta l'aspetto I) o l'aspetto III); sono invece gli di una V£ 

 razionale normale reale di Segre priva affatto di punti reali o dotata 

 di infiniti punti reali secondo che la matrice presenta l'aspetto II) o IV). 



Un'immediata conseguenza della penultima proposizione enunciata è la 

 seguente : 



Le curve algebriche, tali che il grado dell'equazione minima della 

 corrispondenza algebrica generica situata sopra una qualunque di esse 

 sia 2, sono tutte e sole quelle curve algebriche per cui i numeri base 

 (x , [i l e fi 3 ([i = ,«1 -f- //<>) di Hurwitz e di Rosati, cioè i numeri base 

 di tutte le corrispondenze algebriche situate sulla curva, di quelle sim- 

 metriche o di quelle emisimmetriche, sono dati da 



I) 



fX = 



2 . 



J<1 



= 1 



, ,«2 - 



1; 



II) 



n = 



4 , 



Ih 





) 1*2 == 



3; 



III) 



fi = 



2 , 



,"i 



= 2 



, jW 2 = 



0; 



IV) 





4 , 



/'i 



= 3 



, fi 2 = 



1 . 





Rendiconti. 1917, Voi, 



. XXVI, 



2° 



Sem. 







25 



