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Ora, per essere 



]FJ =(FI|F I )|F 1 + (F;-|F 2 )|F 2 -j h (F<|F 2 )J F 9 , 



per i da 1 a q , e quindi 



(U | F,) = V Ur Fr . V (P{| p r ) | F r = Y U r ( Yi\ F r ) , 



r i r 



con i V_ estesi pure essi da 1 a q, sarà, da quanto si è detto nel n. 1, 

 Gi2'U,' = G^Ui = V Ur F r ■ y (F<|F r ) = y G^ U r (F r |F£) ; 



r e r 



d'onde, moltiplicando a diritta per F,-, e sommando da 1 a q: 



J Gq'W F'ì = G^U, ■ y (F,|F{) Fi + ■ • ■ + G^U, • y (F 9 |Fi) F? . 



i ! E* 



Ma, per r = 1 , 2 , ... , è [(DB, I), forra. (2)]: 



(F r | Fi) F; + (F r | F' 2 ) F' 2 -j [- (F r |Fp F^ = F r ; 



dunque, moltiplicando per ( — l) 8 , sarà, in fine: 



(14) .G fl , U' = (- 1)* y G^Ui ■ Fi = G^U , 



i 



la quale dimostra la proprietà enunciata del gradiente, in ordine a un 

 mutamento della piramide di riferimento, anche quando si tratti di fun- 

 zioni estensive. 



3. Visto il modo col quale si passa dal gradiente all' hamiltoniano 

 [cfr. N. I e N. II, e le formule (7) nella 2* delle 3 Note ai Lincei, citate 

 in principio, circa le definizioni di questi operatori a le relazioni fra loro], 

 visto che Sì e \Sì subiscono gli stessi cambiamenti circa le coordinate quando 

 si cambia di piramide di riferimento, e visto inoltre che il cambiamento 

 di Si in jJ2 porta seco il cambiamento di q in q'= n-{-l — ^ e di q' in q, 

 sicché rimane inalterato il fattore ( — 1)PP' che accompagna l'espressione di 

 un hamiltoniano, le conclusioni enunciate circa i gradienti valgono senz'altro 

 circa gli hamiltoniani. 



