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2. Se u è un vettore funzione di t, il punto P tale che, per « = ±1, 



(1) P'=su'Au, ossia P = + « Ju'A'u di , 



(essendo un punto fissato ad arbitrio) descrive una linea la cui binor- 

 male in P è parallela ad u, ed il cui raggio di torsione t (positivo pe 

 s = — f- 1 , negativo per f === — 1) vale 



(2) % = su 2 . 



Dato il vettore u, la linea P è determinata a meno d'una traslazione, 

 ed inversamente data la P il vettore u è determinato a meno del segno. 

 Se P è punto funzione data di t, allora la l a delle (1) (equazione diffe- 

 renziale in u) secondochè, in tutto il campo di t, P'A P"XP'">0, ha 

 per soluzione u = -f(±P'AP"XP" f )-l P'AP". 



Infatti dev'essere u = AP'AP". da cui 



u' = h'P'A P"+ h?' A P'" ; u'A u =• — h 2 . P'A P" X ?"' . P' . 



3. Si chiama » trasformata asintotica d'una linea gobba P » ogni linea 

 P, tale che P , Pi , funzioni dist inte della stessa variabile t , sono asinto- 

 tiche (curvilinee) della rigata PP t . Va notato che siccome ogni rigata svi- 

 luppabile possiede come unico sistema di asintotiche le sue generatrici la 

 rigata PP, è necessariamente gobba. 



Teorema. — Ogni trasformata asintotica delta (1) è definita da 



(3) P; = eulAu,, 



ove il vettore Ui soddisfa alle condizioni 



(4) uAu.Xu'+O , uAiiXul^U. 



(5) su{ — ti' = «i(Ui =i= *u) , 

 essendo co, una funzione arbitraria di, t , e si ha 



(6) P, = P=tu, A u . 



Se w, è la derivata logaritmica della funzione xp\ . si ha 



(5') iì, = ì/'i a=p e ( ifJT 2 d(<piii) 



ove il e rettore costante arbitrario , e (/», è funzione arbitraria {non 

 nulla) ili t . 



Se <) è la distanza dei punti P . P, , e y è l'angolo di li con Ui , 

 allora 



(7) d = \'W ì wx\y. 



