Infatti, perchè P , Pi siano asintotiche curvilinee della rigata PPi è 

 necessario che P, — P sia normale ad u ed Ui, cioè che si abbia 



(a) Pi = P + Ali, Au, 



ove al variare di t ed h s'ottengono tutti i punti della rigata. Perchè questa 

 sia gobba dev'essere (') P'A(u, A u) X (ni A u)' = — «(u A u, X u') 2 4= ; 

 ed analogamente per Pi , cioè sussistono le (4). 



Derivando (<z), e ritenuto per ora scritto e, = zi~ 1 in luogo di e nella 

 (3), si ha 



(b) s u{ A Hi — «iU f A u = h'ui A u -j- hu[ Au + hui A ir' ; 



moltiplicando internamente per u o per Ui si ottiene 



« ul A ili X u = hUi Au'Xu , ^u'AuXu, = hn[ AuXn, , 



da cui, per le (4), h 2 = se^ . Perchè h sia reale dev'essere intanto, come 

 si è posto in (3), e = t , , cioè le due asintotiche P , Pi hanno necessaria- 

 mente torsioni d'egual segno. 



Ciò essendo, si ricava A = ±l e sostituendo allora in (b) si trae 



(5") («ni -±. u!) A (Ui =p su) = , 



attor . 



equivalente alla (5), che è così necessaria. E pure sufficiente perchè dalla 

 (6), tenendo conto delle (1) e combinando poi con (5") si ha 



p; = eu'A u =£ ui Au± u, Au'= «ni Aii 8 . 



Seguono subito la (5') integrando l'equazione lineare (5); e la (7) dalla 

 (6) per essere ò = mod(P, — P). [ 



Osservazione. — La linea simmetrica della P rispetto al punto fisso 0, 

 {cioè Q = 20 — P, ha torsioni di segno opposto a quelle di P, perchè 

 Q'= — P'= — «n'Ali; e la simmetrica di Pi rispetto ad 0, per la (6), 

 è Qi = Q=j=iiiAu e risulta trasformata asintotica di Q. Dunque, senza 

 nulla togliere alla generalità, t e r 1 si possono supporre positivi. 



Scegliendo opportunamente il senso di ili (n. 2) la (6) mostra che è 

 lecito porre h = 1. cioè — come si riterrà fatto sempre per quanto segue — 

 in tutte le forinole precedenti si può scegliere il segno superiore, oltre al 

 supporre s = -4- 1 . 



4. Consideriamo la trasformazione asintotica della linea P caratteriz- 

 zata da 



(S) u* = n? (equivalente a %). 



(!) C. Burali-Forti, Corso di geometria analitica-proiettiva (Torino, Gallizio, 1912), 

 n. 167, pag. 142. 



