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Moltiplicando internamente per Ui -f- u la (5), per la (8) si ha 

 = (u! + u') X (u, + u) = | [(u, + u) 2 ]' . 



da cai risulta, indicando con k una costante positiva 



(9) (Ui-M)' = 2A, 



La costante k di Picone (loc. cit , pag. 59) riceve così un significato 

 geometrico semplice che ne rende evidenti tutte le sue proprietà. Essa per- 

 mette di esprimere la distanza J = mod(P, — P), e l'angolo dei due piani 

 osculatori y = ang(u , ili) , poiché tenendo conto delle (8), (9), (7) si ha 

 subito 



(10) Ui Xu = t cos y , 



(11) r -\- t cos y = k , 



(12) cosy = ^— 1 , seny = -t/#(2r — k) . ò = yk{2% — k). 



La linea Pi così caratterizzata dalla proprietà che in ogni punto ha 

 torsione eguale a quella del punto corrispondente della linea P si dirà, 

 con Picone, ottenuta con « una trasformazione B k » . In virtù della (8) si 

 ha subito 



(13) t'= 2uXu'= 2u, Xnl ; 



tenendo conto di questa, se si moltiplica per u[ — u' la (5) si ottiene 



(14) u[ 3 — u' = ft)!(u 2 — u, X u)' . 



Dalla (1) segue P' 2 = u' 2 u 2 — (u'Xu) 2 ed analogamente per Pi; 

 quindi per la (8) si ha V[ 2 — P' 2 = u? ni — u' 2 u 2 = u 2 (u[ 3 — u' 2 ), vale a 

 dire, per la (14) 



(15) Pi 9 *— P' 2 = u s (uf — u'^w.u^u 2 — uXu,)'. 



In virtù delle (2), (10). (11). (12), le (14) e (15) assumono le forme 



(14') ul 2 — il" = Wi(t — t cos y)' , 



(15') PI' — P' 2 = e» 1 T(r — tcos y)' . 



5. Se in una trasformazione B H uno degli elementi t, ó , y è costante, 

 sono pure costanti gli altri due e le linee P , P, hanno eguale arco. 



La prima parte risulta subito dalle (12), e la seconda da queste e 

 dalla (15'). 



