6. In una trasformazione B, ( si conservano gli archi solamente quando 

 1°) la linea P è a torsione costante; 



2°) P è asintotica d'un conoide retto, nel guai caso la detta sua 

 trasformata secondo B k è la simmetrica della P rispetto all'asse del 

 conoide. 



Affinchè P , Pi abbiano eguale arco occorre e basta, per la (15). che 



(a) . uj 3 — u' 2 = 0. 



1°) Sia <w,=j=0. Allora dalla (14') e dalla (a) si ha % — rcosy = cost, 

 che sommata con la (11) dà appunto x = costante. 



2°) Sia «i = 0. Dalla (5) si ha allora ul-f~ 11 ' =: 0, che integrata da 



(b) ili -f- u = 2ak , 



ove k è vettore unitario costante ed a è un numero reale costante. Da 

 questa si ha u t = 2«k — u; quadrando e sommando, in virtù della (8), 

 si ottiene 



[e) kXn = ±«. 



Dalla stessa (b) si Ita ancora 



(d) u, Att = 2a.kAii . P, = P + 2akAu. 



Se P è punto medio fra P e P, si ha P c = P -j- # c k A u , da cui 

 p; = u'A(u — ak) , k A P;= fkXu — a)u' e, per la (e), k A P' = 0. 

 Dunque il punto P descrive una retta parallela al vettore k, cioè la rigata 

 PPi è un conoide (di asse P k) retto perchè, in virtù della (d), (P, — P) X 

 X k = 0. L' inverso è evidente. 



7. Si possono ottenere in modo assai semplice tutte le asintotiche d'un 

 conoide retto. 



Sia k un vettore unitario costante; i vettore unitario funzione di t 

 normale a k; si ponga ??2 = modiAj'= — i'/m, ed il verso di k sia tale 

 che k — iAj. Si avrà i'= — mj , j' = (k A i)'= mi . Ciò posto, per il 

 punto generico P del conoide retto di asse Ok , si ha 



(a) P = + ^k + ^Ì; 



{§) P' = k -f- x'i — mxji , 



avendo supposto x funzione di t. Ora perchè in questa ipotesi la linea P 

 sia una asintotica, dev'essere u normale ad i , e per la (c) del n. 6, kXu = 

 = costante, vale a dire u=/ij + ok, e quindi P'=u'Au = ah'\-\- mh 2 k. — 

 — ahmì, che confrontata con (p) dà mh 2 = 1 , h = l/ym , x = a/]/ m , 

 e quindi le asintotiche del conoide son descritte dai punti 



(y) P„ = -f- /k + a/fm i , con m = mod i' , 



