In questo caso, tenendo conto della (2Ì, la (1) può scriversi 

 (1') k(Si + eSÌXk.k)-\-Mi = li 



da cui si ricava immediatamente 



(4) Mi = K— A(3-f- sfiXk.k). 

 Inoltre, la velocità dell'asse Ok d' inerzia è data da 



(5) dk/dt = SÌ /\ k 



che è un'equazione lineare e può quindi integrarsi facilmente ( 1 ). 



Applicandovi lo sviluppo in serie indicato dal Peano ( 2 ) e ponendo 

 U-A ■= /? , si ha 



(6) k = 1 -J- )fidt + fedi \fidt H 



dove fi è una omografia funzione integrabile del tempo e k è la posizione 

 del vettore k per t = 0. La (6) è una serie sempre convergente e permette 

 di determinare completamente, quando sia noto il vettore Sì in funzione del 

 tempo, il vettore k e quindi l'asse Ok d' inerzia ed il punto -f- k che 

 è il polo d' inerzia. Si può dunque concludere che « quando sia noto, in 

 « funzione del tempo, il vettore Sì che rappresenta la velocità istantanea 

 * di rotazione del sistema, e sian date le condizioni iniziali del moto 

 « che determinano completamente il vettore K costante (fisso nello spazio), 

 « le formole (6) e (4) permettono di determinare, in funzione del tempo, 

 « la posizione del polo -j- k d'inerzia ed il momento M,- dell' impulso 

 a dovuto ai moli interni. » . 



2. Risolvendo, invece, la (1) rispetto ad il, si ha 



(7) 



ossia, per la (3), 



Si = cc- 1 (K — M f ) 



(7') 



Sì 



(K — 



1 + € 



(li — Mi) X k . k 



Questa relazione esprime che « la velocità istantanea di rotazione del 

 « sistema è la risultante di due velocità, una diretta secondo il vettore 

 « K — Mi e l'altra secondo l'asse Ok d'inerzia ». 



Inoltre, sostituendo nella (5) l'espressione (7') di Sì, si ha la relazione 



(8) dk/dt = (l/A) (K — Mi) A k 



( l ) Cfr. Darboux, Legons sur la théorie des surfaces, Paris 1887, Chap. II. 

 (*) G. Peano, Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari, Atti della 

 E. Accad. di Torino, a. 1887 ; Mathem. Anrtalen, t. 32, pag. 450. 



